Giải bài 25 trang 43

Cho a, b là hai số thực tuỳ ý. Chứng minh: (a2+1)(b2+1)≥4ab(a2+1)(b2+1)≥4ab\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right) \ge 4ab

Đề bài

Cho a, b là hai số thực tuỳ ý. Chứng minh: $(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) \geq 4 a b$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh hiệu $(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) - 4 a b \geq 0.$

Lời giải chi tiết

Xét hiệu $(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) - 4 a b = a^{2} b^{2} + a^{2} + b^{2} + 1 - 4 a b = (a^{2} b^{2} - 2 a b + 1) + (a^{2} - 2 a b + b^{2}) = {(a b - 1)}^{2} + {(a - b)}^{2}$

Do ${(a b - 1)}^{2} \geq 0$ và ${(a - b)}^{2} \geq 0$ với mọi số thực a,b nên ${(a b - 1)}^{2} + {(a - b)}^{2} \geq 0$

Vậy $(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) - 4 a b \geq 0$ hay $(a^{2} + 1) (b^{2} + 1) \geq 4 a b$ .