Giải bài 25 trang 71

Cho phương trình ({x^2} + x - 2 + sqrt 2 = 0.) a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm ({x_1};{x_2}) trái dấu. b) Không giải phương trình, tính: (A = x_1^2 + x_2^2;B = x_1^3 + x_2^3;C = frac{1}{{{x_1}}} + frac{1}{{{x_2}}};D = left| {{x_1} - {x_2}} right|.)

Đề bài

Cho phương trình $x^{2} + x - 2 + \sqrt{2} = 0.$

a) Chứng tỏ rằng phương trình có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ trái dấu.

b) Không giải phương trình, tính:

$A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}; B = x_{1}^{3} + x_{2}^{3}; C = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}; D = | x_{1} - x_{2} | .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh $a c < 0$ .

b) Bước 1: Áp dụng định lý Viète để tính $x_{1} + x_{2}; x_{1} . x_{2}$

Bước 2: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện $x_{1} + x_{2}; x_{1} . x_{2}$

Lời giải chi tiết

a) Phương trình có các hệ số $a = 1; b = 1; c = - 2 + \sqrt{2} .$

Ta có $a c = 1. (- 2 + \sqrt{2}) = - 2 + \sqrt{2} < 0$ , suy ra phương trình có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ trái dấu.

b) Do phương trình luôn có 2 nghiệm nên áp dụng định lý Viète, ta có:

$x_{1} + x_{2} = - 1; x_{1} . x_{2} = - 2 + \sqrt{2} .$

+) $A = {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2}$

$= {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = {(- 1)}^{2} - 2 (- 2 + \sqrt{2}) = 5 - 2 \sqrt{2}$

+) $B = x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$

$= (x_{1} + x_{2}) ({x_{1}}^{2} - x_{1} x_{2} + {x_{2}}^{2}) = (x_{1} + x_{2}) [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 3 x_{1} x_{2}] = (- 1) [{(- 1)}^{2} - 3 (- 2 + \sqrt{2})] = - 7 + 3 \sqrt{2}$

+) $C = \frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$

$= \frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} . x_{2}} = \frac{- 1}{- 2 + \sqrt{2}} = \frac{1}{2 - \sqrt{2}} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

+) Xét $D^{2} = {| x_{1} - x_{2} |}^{2}$

$= {x_{1}}^{2} + {x_{2}}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = {(- 1)}^{2} - 4 (- 2 + \sqrt{2}) = 9 - 4 \sqrt{2} = {(2 \sqrt{2} - 1)}^{2}$

Suy ra $D = 2 \sqrt{2} - 1$ .