Giải bài 26 trang 110

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hình chiếu của H trên AB, AC lần lượt là D, E. Gọi (O) là đường tròn đường kính HB và (O') là đường tròn đường kính HC. Chứng minh:

a) Điểm D thuộc đường tròn (O) và điểm E thuộc đường tròn (O’);

b) Hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài;

c) AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’);

d) AH = DE;

e) Diện tích tứ giác DEO’O bằng nửa diện tích tam giác ABC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh $O B = O D = O H = \frac{B H}{2}$ ; $O^{'} H = O^{'} E = O^{'} C = \frac{H C}{2}$ .

b) Chứng minh $O O^{'} = O H + O^{'} H$ .

c) Chứng minh $A H ⊥ O O^{'}$ .

d) Chứng minh ADHE là hình chữ nhật.

e) Bước 1: Chứng minh ODEO’ là hình thang vuông.

Bước 2: Biểu diễn diện tích 2 hình theo công thức.

Bước 3: Vận dụng dữ kiện $A H = D E$ , $B C = B H + C H = 2 (O D + O^{'} E)$ để biến đổi.

Lời giải chi tiết

a) Do tam giác BDH vuông tại D và O là trung điểm của BH (BO và HO là bán kính đường tròn (O)) nên $O B = O D = O H = \frac{B H}{2}$ , do đó D thuộc đường tròn (O).

Do tam giác ECH vuông tại E và O’ là trung điểm của CH (O’H và O’C là bán kính đường tròn (O)) nên $O^{'} H = O^{'} E = O^{'} C = \frac{H C}{2}$ , do đó E thuộc đường tròn (O’).

b) Do tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao, $H \in B C$ nên H nằm giữa B và C.

Mà (O) là đường tròn đường kính HB và (O') là đường tròn đường kính HC nên H nằm giữa O và O’, do đó $O O^{'} = O H + O^{'} H$ , vậy đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài.

c) Ta có OH, O’H lần lượt là bán kính của (O) và (O’) , và AH vuông góc với OO’ tại H nên AH là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’).

d) Do tam giác BDH vuông tại D nên $\hat{B D H} = 90^{\circ}$ , do đó $\hat{H D A} = 90^{\circ}$ .

Do tam giác ECH vuông tại E nên $\hat{E C H} = 90^{\circ}$ , do đó $\hat{H E A} = 90^{\circ}$ .

Xét tứ giác ADHE có $\hat{H D A} = \hat{H E A} = \hat{D A E} = 90^{\circ}$ nên ADHE là hình chữ nhật, do đó $A H = D E$ .

e) Do ADHE là hình chữ nhật nên $I A = I D = I H = I E$ .

Xét hai tam giác OID và OIH có:

$O D = O H$ ;

OI chung;

$I D = I H$

Suy ra $Δ O I D = Δ O I H$ (c.c.c), do đó $\hat{O H I} = \hat{O D I} = 90^{\circ}$ , hay $O D ⊥ D E$ .

Xét hai tam giác OIE và O’IH có:

$O^{'} E = O^{'} H$ ;

O’I chung;

$I E = I H$

Suy ra $Δ O I E = Δ O^{'} I H$ (c.c.c), do đó $\hat{O^{'} H I} = \hat{O^{'} E I} = 90^{\circ}$ , hay $O^{'} E ⊥ D E$ .

Xét ODEO’ có $O D ⊥ D E$ , $O^{'} E ⊥ D E$ nên $O D / / E O^{'}$ , do đó ODEO’ là hình thang vuông và DE là đường cao.

Diện tích hình thang ODEO’ và tam giác ABC lần lượt là: $S_{1} = \frac{D E (O D + O^{'} E)}{2}; S_{2} = \frac{A H . B C}{2}$

Mà $A H = D E$ , $B C = B H + C H = 2 (O D + O^{'} E)$

Suy ra $S_{1} = \frac{1}{2} S_{2}$ .

Vậy diện tích tứ giác DEO’O bằng nửa diện tích tam giác ABC.