Giải bài 26 trang 134

Đề bài

Một khối gỗ gồm một hình cầu (C) bán kính R và một hình nón (N) có bán kính đường tròn đáy và đường sinh lần lượt là r (cm), l (cm) thoả mãn 2R = l và 2l = 3r. Biết tổng diện tích mặt cầu (C) và diện tích toàn phần của hình nón (N) là 171π cm². Tính diện tích của mặt cầu (C) (theo đơn vị centimét vuông và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải chi tiết

Từ 2R = l và 2l = 3r, suy ra $R=\frac{l}{2},r=\frac{2l}{3}.$

Diện tích mặt cầu (C) là:

$4\pi R^2=4\pi .{\left(\frac{l}{2}\right)}^2=4\pi .\frac{l}{4}=\pi l^2$.

Diện tích toàn phần của hình nón (N) là:

$\pi rl+\pi r^2=\pi .\frac{2l}{3}.l+\pi .{\left(\frac{2l}{3}\right)}^2$

$=\frac{2}{3}\pi l^2+\frac{4}{9}\pi l^2=\frac{10\pi l^2}{9}$.

Do tổng diện tích mặt cầu (C) và diện tích toàn phần của hình nón (N) là 171π cm² nên:

$\pi l^2+\frac{10\pi l^2}{9}=171\pi$ hay 9πl² = 171π.9

Suy ra l² = 81 nên l = 9 cm (do l > 0).

Khi đó, bán kính mặt cầu (C) là: 

$R=\frac{l}{2}=\frac{9}{2}=4,5$ (cm).

Vậy diện tích của mặt cầu (C) là:

4πR² = 4π.(4,5)² = 81π ≈ 81.3,14 = 254,34 ≈ 254 (cm²).