Giải bài 26 trang 32

Đề bài

Biểu diễn miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau:

a) ${\begin{matrix} x - 3 y < 0 \\ x + 2 y > - 3 \\ x + y < 2 \end{matrix}$ b) ${\begin{matrix} x - 2 y \leq 3 \\ 3 x + 2 y \geq 9 \\ x + y \leq 6 \\ x \geq 1 \end{matrix}$ c) ${\begin{matrix} x + 2 y \leq 2 \\ x + 2 y \geq - 2 \\ x - 2 y \leq 2 \\ x - 2 y \geq - 2 \end{matrix}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xác định miền nghiệm của từng bpt. Miền nghiệm của hệ bpt là miền giao của các miền nghiệm ấy.

Biểu diễn miền nghiệm của bpt $a x + b y < c$

Bước 1: Vẽ đường thẳng $d : a x + b y = c$

Bước 2: Lấy một điểm $M (x_{o}; y_{o})$ không thuộc d (ta thường lấy gốc tọa độ O nếu $c \neq 0$ ). Tính $a x_{o} + b y_{o}$ và so sánh với c

Bước 3: Kết luận

Nếu $a x_{o} + b y_{o} < c$ thì nửa mặt phẳng (không kể đường thẳng d) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình $a x + b y < c$

Nếu $a x_{o} + b y_{o} > c$ thì nửa mặt phẳng (không kể d) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình $a x + b y > c$

Lời giải chi tiết

a) Vẽ các đường thẳng:

$d_{1} : x - - 3 y = 0$ đi qua hai điểm có tọa độ (0; 0) và (3; 1).

$d_{2} : x + 2 y = - 3$ đi qua hai điểm có tọa độ (– 3; 0) và (1; – 2).

$d_{3} : x + y = 2$ đi qua hai điểm có tọa độ (2; 0) và (0; 2).

Xét điểm A(1;0), không thuộc $d_{1}, d_{2}, d_{3} .$

$1 - 3.0 = 1 > 0 \Rightarrow A (1; 0)$ không thuộc miền nghiệm của BPT $x - 3 y < 0$

$1 + 2.0 = 1 > - 3 \Rightarrow A (1; 0)$ thuộc miền nghiệm của BPT $x + 2 y > - 3$

$1 + 0 = 1 < 2 \Rightarrow A (1; 0)$ thuộc miền nghiệm của BPT $x + y < 2$

Biểu diễn miền nghiệm của từng bpt và gạch bỏ các miền không là nghiệm, ta được:

Miền nghiệm của hệ bpt là miền không gạch (không kể các bờ) trong hình trên.

b) Vẽ các đường thẳng:

d1: x – 2y = 3 đi qua hai điểm có tọa độ là (3; 0) và (1; – 1).

d2: 3x + 2y = 9 đi qua hai điểm (3; 0) và (1; 3).

d3: x + y = 6 đi qua hai điểm (6; 0) và (0; 6).

d4: x = 1 song song với trục tung và đi qua điểm (1; 0).

Xét điểm O(0;0), không thuộc $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4} .$

$0 - 2.0 = 0 \leq 3 \Rightarrow O (0; 0)$ thuộc miền nghiệm của BPT $x - 2 y \leq 3$

$3.0 + 2.0 < 9 \Rightarrow O (0; 0)$ không thuộc miền nghiệm của BPT $3 x + 2 y \geq 9$

$0 + 0 = 0 \leq 6 \Rightarrow O (0; 0)$ thuộc miền nghiệm của BPT $x + y \leq 6$

$0 < 1 \Rightarrow O (0; 0)$ không thuộc miền nghiệm của BPT $x \geq 1$

Biểu diễn miền nghiệm của từng bpt và gạch bỏ các miền không là nghiệm, ta được:

Miền nghiệm của hệ BPT là miền tứ giác ABCD (kể cả các cạnh) với A(1;3), B(1;5), C(5;1), D(3;0).

c) Vẽ các đường thẳng:

d1: x + 2y = 2 đi qua hai điểm có tọa độ là (2; 0) và (0; 1).

d2: x + 2y = – 2 đi qua hai điểm có tọa độ là (– 2; 0) và (0; – 1).

d3: x – 2y = 2 đi qua hai điểm có tọa độ là (2; 0) và (0; – 1).

d4: x – 2y = – 2 đi qua hai điểm có tọa độ là (–2; 0) và (0; 1).

Xét điểm O(0;0), không thuộc $d_{1}, d_{2}, d_{3}, d_{4} .$

$0 + 2.0 = 0 \leq 2 \Rightarrow O (0; 0)$ thuộc miền nghiệm của BPT $x + 2 y \leq 2$

$0 + 2.0 = 0 \geq - 2 \Rightarrow O (0; 0)$ thuộc miền nghiệm của BPT $x + 2 y \geq - 2$

$0 - 2.0 = 0 \leq 2 \Rightarrow O (0; 0)$ thuộc miền nghiệm của BPT $x - 2 y \leq 2$

$0 - 2.0 = 0 \geq - 2 \Rightarrow O (0; 0)$ thuộc miền nghiệm của BPT $x - 2 y \geq - 2$

Như vậy O(0;0) thuộc miền nghiệm của hệ bpt.

Biểu diễn miền nghiệm của từng bpt và gạch bỏ các miền không là nghiệm, ta được:

Miền nghiệm của hệ BPT là miền tứ giác ABCD (kể cả các cạnh) với A(-2;0), B(0;1), C(2;0), D(0;-1).