Giải bài 26 trang 43

a) Cho a, b, c là các số dương thoả mãn a<ba<ba < b. Chứng minh: a+cb+c>aba+cb+c>ab\frac{{a + c}}{{b + c}} > \frac{a}{b}. b) Áp dụng kết quả trên, hãy so sánh: M=102023+1102024+1M=102023+1102024+1M = \frac{{{{10}^{2023}} + 1}}{{{{10}^{2024}} + 1}} và N=102022+1102023+1N=102022+1102023+1N = \frac{{{{

Đề bài

a) Cho a, b, c là các số dương thoả mãn $a < b$ . Chứng minh: $\frac{a + c}{b + c} > \frac{a}{b}$ .

b) Áp dụng kết quả trên, hãy so sánh: $M = \frac{10^{2023} + 1}{10^{2024} + 1}$ và $N = \frac{10^{2022} + 1}{10^{2023} + 1}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh hiệu $\frac{a + c}{b + c} - \frac{a}{b} > 0.$

Biến đổi $N = \frac{10^{2022} + 1}{10^{2023} + 1} = \frac{10 (10^{2022} + 1)}{10 (10^{2023} + 1)} = \frac{(10^{2023} + 1) + 9}{(10^{2024} + 1) + 9}$ .

Áp dụng kết quả câu a, ta được điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

Xét hiệu $\frac{a + c}{b + c} - \frac{a}{b} = \frac{b (a + c) - a (b + c)}{b (b + c)}$ $= \frac{a b + b c - a b - a c}{b (b + c)} = \frac{b c - a c}{b (b + c)} = \frac{c (b - a)}{b (b + c)}$

Do a, b, c là các số dương và $a < b$ nên $b - a > 0$ , $(b + c)$ suy ra $\frac{c (b - a)}{b (b + c)}$ , do đó $\frac{a + c}{b + c} - \frac{a}{b}$

Hay $\frac{a + c}{b + c} > \frac{a}{b}$ .

$N = \frac{10^{2022} + 1}{10^{2023} + 1} = \frac{10 (10^{2022} + 1)}{10 (10^{2023} + 1)} = \frac{(10^{2023} + 1) + 9}{(10^{2024} + 1) + 9}$

Theo câu a, ta có $N = \frac{(10^{2023} + 1) + 9}{(10^{2024} + 1) + 9} > \frac{10^{2023} + 1}{10^{2024} + 1}$

Do đó $M < N .$