Giải bài 26 trang 71

Đề bài

a) Cho phương trình $-x^2+5kx+4=0.$ Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$ thoả mãn điều kiện $x_1^2+x_2^2+6x_1{x}_2=9.$

b) Cho phương trình $k{x}^2-6\left(k-1\right)x+9\left(k-3\right)=0\left(k\ne 0\right).$Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm $x_1;x_2$ thoả mãn điều kiện $x_1+x_2-x_1{x}_2=0.$

Lời giải chi tiết

Phương trình có các hệ số $a=-1;b=5k;c=4$.

Ta có $\Delta ={\left(5k\right)}^2-4.\left(-1\right).4=25k^2+16>0$ với mọi $k\in R$.

Do $\Delta >0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt, áp dụng định lý Viète ta có:

$x_1+x_2=5k;x_1.x_2=-4.$

Ta lại có: $x_1^2+x_2^2+6x_1{x}_2=9$

suy ra ${\left(x_1+x_2\right)}^2+4x_1{x}_2=9$

hay ${\left(5k\right)}^2+4.\left(-4\right)=9$

Do đó $25k^2-16=9$, suy ra $k=1;k=-1$.

Vậy $k=1;k=-1$ là các giá trị cần tìm.

b) Phương trình có các hệ số $a=k;b=-6\left(k-1\right);c=9\left(k-3\right).$

Do đó $b^{\prime }=\frac{b}{2}=-3\left(k-1\right)$.

Ta có ${\Delta }^{\prime }={\left(-3\left(k-1\right)\right)}^2-k.9\left(k-3\right)=9k+9$.

Để phương trình có 2 nghiệm thì ${\Delta }^{\prime }\ge 0$ hay $9k+9\ge 0$, suy ra $k\ge -1$ và $k\ne 0$.

Áp dụng định lý Viète ta có:

$x_1+x_2=\frac{6\left(k-1\right)}{k};x_1.x_2=\frac{9\left(k-3\right)}{k}.$

Ta lại có: $\frac{6\left(k-1\right)}{k}-\frac{9\left(k-3\right)}{k}=0$

suy ra $-3k+21=0$ hay $k=7$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $k=7$ là giá trị cần tìm.