Giải bài 26 trang 71

a) Cho phương trình ( - {x^2} + 5kx + 4 = 0.) Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm ({x_1};{x_2}) thoả mãn điều kiện (x_1^2 + x_2^2 + 6{x_1}{x_2} = 9.) b) Cho phương trình (k{x^2} - 6left( {k - 1} right)x + 9left( {k - 3} right) = 0left( {k ne 0} right).)Tìm các giá trị k để phương trình c

Đề bài

a) Cho phương trình $- x^{2} + 5 k x + 4 = 0.$ Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ thoả mãn điều kiện $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 6 x_{1} x_{2} = 9.$

b) Cho phương trình $k x^{2} - 6 (k - 1) x + 9 (k - 3) = 0 (k \neq 0) .$ Tìm các giá trị k để phương trình có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ thoả mãn điều kiện $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} = 0.$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tìm k để $Δ \geq 0$ hoặc $Δ^{'} \geq 0$ .

Bước 2: Áp dụng định lý Viète để tính $x_{1} + x_{2}; x_{1} x_{2}$ .

Bước 3: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng tổng và tích của $x_{1}; x_{2}$ rồi thay vào đẳng thức để tìm k.

Lời giải chi tiết

Phương trình có các hệ số $a = - 1; b = 5 k; c = 4$ .

Ta có $Δ = {(5 k)}^{2} - 4. (- 1) .4 = 25 k^{2} + 16 > 0$ với mọi $k \in R$ .

Do $Δ > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt, áp dụng định lý Viète ta có:

$x_{1} + x_{2} = 5 k; x_{1} . x_{2} = - 4.$

Ta lại có: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 6 x_{1} x_{2} = 9$

suy ra ${(x_{1}^{} + x_{2}^{})}^{2} + 4 x_{1} x_{2} = 9$

hay ${(5 k)}^{2} + 4. (- 4) = 9$

Do đó $25 k^{2} - 16 = 9$ , suy ra $k = 1; k = - 1$ .

Vậy $k = 1; k = - 1$ là các giá trị cần tìm.

b) Phương trình có các hệ số $a = k; b = - 6 (k - 1); c = 9 (k - 3) .$

Do đó $b^{'} = \frac{b}{2} = - 3 (k - 1)$ .

Ta có $Δ^{'} = {(- 3 (k - 1))}^{2} - k .9 (k - 3) = 9 k + 9$ .

Để phương trình có 2 nghiệm thì $Δ^{'} \geq 0$ hay $9 k + 9 \geq 0$ , suy ra $k \geq - 1$ và $k \neq 0$ .

Áp dụng định lý Viète ta có:

$x_{1} + x_{2} = \frac{6 (k - 1)}{k}; x_{1} . x_{2} = \frac{9 (k - 3)}{k} .$

Ta lại có: $\frac{6 (k - 1)}{k} - \frac{9 (k - 3)}{k} = 0$

suy ra $- 3 k + 21 = 0$ hay $k = 7$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $k = 7$ là giá trị cần tìm.