Giải bài 26 trang 75

Trong không gian với hệ toạ độ (Oxyz), cho (Mleft( {2;2; - 2} right),Nleft( { - 3;5;1} right),Pleft( {1; - 1; - 2} right)). a) Chứng minh rằng ba điểm (M,N,P) không thẳng hàng. b) Tính chu vi tam giác (MNP). c) Tính (cos widehat {NMP}).

Đề bài

Trong không gian với hệ toạ độ $O x y z$ , cho $M (2; 2; - 2), N (- 3; 5; 1), P (1; - 1; - 2)$ .

a) Chứng minh rằng ba điểm $M, N, P$ không thẳng hàng.

b) Tính chu vi tam giác $M N P$ .

c) Tính $\cos \hat{N M P}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng tính chất: Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng nếu hai vectơ $\vec{A B}, \vec{A C}$ cùng phương.

‒ Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng $A B$ :

$A B = | \vec{A B} | = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$ .

‒ Sử dụng công thức tính góc của hai vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ :

$\cos (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} . \vec{v}}{| \vec{u} | . | \vec{v} |} = \frac{x_{1} . x_{2} + y_{1} . y_{2} + z_{1} . z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}} . \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}}}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\vec{M N} = (- 5; 3; 3)$ , $\vec{M P} = (- 1; - 3; 0)$ , $k \vec{M P} = (- k; - 3 k; 0)$ .

Suy ra $\vec{M N} \neq k \vec{M P}, \forall k \in R$ .

Vậy ba điểm $M, N, P$ không thẳng hàng.

b) Ta có:

$\begin{array}{l} M N = | \vec{M N} | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{43}; \\ M P = | \vec{M P} | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2} + 0^{2}} = \sqrt{10}; \\ N P = | \vec{N P} | = \sqrt{{(1 - (- 3))}^{2} + {(- 1 - 5)}^{2} + {(- 2 - 1)}^{2}} = \sqrt{61} . \end{array}$

Chu vi tam giác $M N P$ là: $\sqrt{43} + \sqrt{10} + \sqrt{61}$ .

c) Trong tam giác $M N P$ , ta có:

$\cos \hat{N M P} = \cos (\vec{M N}, \vec{M P}) = \frac{\vec{M N} . \vec{M P}}{| \vec{M N} | . | \vec{M P} |}$

$= \frac{(- 5) . (- 1) + 3. (- 3) + 3.0}{\sqrt{43} . \sqrt{10}} = - \frac{4}{\sqrt{430}}$ .