Giải bài 26 trang 92

Cho tứ giác ABCD có (widehat C + widehat D = {90^o}). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó.

Đề bài

Cho tứ giác ABCD có $\hat{C} + \hat{D} = 90^{o}$ . Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BD, DC, CA. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn nên bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải chi tiết

Gọi T là giao điểm của hai đường thẳng AD và CB. Vì $\hat{T D C} + \hat{T C D} = 90^{o}$ nên tam giác TCD vuông tại T.

Do MN là đường trung bình tam giác ABD nên MN // AD, MQ là đường trung bình của tam giác ABC nên MQ // BC.

Mặt khác, $A D ⊥ B C$ suy ra $M N ⊥ M Q$ .

Chứng minh tương tự ta cũng có $M N ⊥ N P, N P ⊥ P Q$ . Suy ra MNPQ là hình chữ nhật.

Vậy bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn tâm O là giao điểm hai đường chéo MP và NQ.