Giải bài 27 trang 62

Cho đường thẳng d:y=(m−2)x+2d:y=(m−2)x+2d:y = \left( {m - 2} \right)x + 2 với m≠2m≠2m \ne 2.

Đề bài

Cho đường thẳng $d : y = (m - 2) x + 2$ với $m \neq 2$ .

a) Tìm giá trị của $m$ để đường thẳng $d$ cùng với các trục $O x, O y$ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2.

b) Chứng tỏ rằng khi giá trị của $m$ thay đổi thì tập hợp các đường thẳng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đầu tiên tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $d$ với trục $O x$ và $O y$ sau đó áp dụng công thức tính diện tích của tam giác để tìm giá trị của $m$ .

Lời giải chi tiết

a) Với $y = 0$ thì $x = \frac{- 2}{m - 2}$ , ta được điểm $A (\frac{- 2}{m - 2}; 0)$ là giao điểm của đường thẳng $d$ với trục $O x$ . Khi đó $O A = | \frac{- 2}{m - 2} |$ .

Với $x = 0$ thì $y = 2$ , ta được điểm $B (0; 2)$ là giao điểm của đường thẳng $d$ với trục $O y$ . Khi đó $O B = 2$ .

Ta có diện tích của tam giác $O A B$ bằng 2 nên $\frac{1}{2} . O A . O B = 2$ hay $O A . O B = 4$ .

Suy ra $| \frac{- 2}{m - 2} | .2 = 4$ hay $| \frac{- 2}{m - 2} | = 2$ . Do đó $\frac{- 2}{m - 2} = 2$ hoặc $\frac{- 2}{m - 2} = - 2$ .

Vậy $m = 1$ hoặc $m = 3$ (thỏa mãn) thì đường thẳng $d$ cùng với các trục $O x, O y$ tạo thành tam giác có diện tích bằng 2.

b) Từ câu a, ta có đường thẳng $d$ luôn đi qua điểm $B (0; 2)$ với mọi giá trị của $m$ . Vậy khi giá trị của $m$ thay đổi thì tập hợp các đường thẳng $d$ luôn đi qua điểm $B (0; 2)$ cố định.