Giải bài 27 trang 71

Cho phương trình ({x^2} + 2left( {2m + 1} right)x - 4{m^2} - 1 = 0.) a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm ({x_1};{x_2}) với mọi giá trị của m. b) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm ({x_1};{x_2}) không phụ thuộc vào giá trị của m.

Đề bài

Cho phương trình $x^{2} + 2 (2 m + 1) x - 4 m^{2} - 1 = 0.$

a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ với mọi giá trị của m.

b) Tìm biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ không phụ thuộc vào giá trị của m.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh $Δ \geq 0$ với mọi $m \in R$ hoặc $Δ^{'} \geq 0$ với mọi $m \in R$ .

b) Bước 1: Áp dụng định lý Viète để tính $x_{1} + x_{2}; x_{1} x_{2}$ .

Bước 2: Biến đổi biểu thức để không chứa m nữa (có thể bình phương, nhân với một số,…).

Lời giải chi tiết

Phương trình có các hệ số $a = 1; b = 2 (2 m + 1); c = - 4 m^{2} - 1$ , do đó $b^{'} = \frac{b}{2} = 2 m + 1$ .

Ta có:

$Δ^{'} = {(2 m + 1)}^{2} - 1. (- 4 m^{2} - 1) = {(2 m + 1)}^{2} + 4 m^{2} + 1.$

Do ${(2 m + 1)}^{2} \geq 0; 4 m^{2} \geq 0; 1 > 0$ nên ${(2 m + 1)}^{2} + 4 m^{2} + 1 > 0$ với mọi $m \in R$ hay $Δ^{'} \geq 0$ với mọi $m \in R$ .

Vì $Δ^{'} \geq 0$ nên phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của m.

b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm nên áp dụng định lý Viète ta có:

$x_{1} + x_{2} = - 2 (2 m + 1); x_{1} . x_{2} = - 4 m^{2} - 1.$

Ta có:

${(x_{1} + x_{2} + 2)}^{2} = {[- 2 (2 m + 1) + 2]}^{2} = {(- 4 m - 2 + 2)}^{2} = {(- 4 m)}^{2} = 16 m^{2}$

và $4. x_{1} . x_{2} = 4 (- 4 m^{2} - 1) = - 16 m^{2} - 4$

Suy ra

${(x_{1} + x_{2} + 2)}^{2} + 4. x_{1} . x_{2} = 16 m^{2} - 16 m^{2} - 4 = - 4.$

Vậy ta có hệ thức ${(x_{1} + x_{2} + 2)}^{2} + 4. x_{1} . x_{2} = - 4$ không phụ thuộc vào giá trị của m.