Giải bài 28 trang 100

Cho tam giác ABCABCABC nhọn có các đường cao BD,CEBD,CEBD,CE. Tia phân giác của các góc ACE,ABDACE,ABDACE,ABD cắt nhau tại OOO và cắt AB,ACAB,ACAB,AC lần lượt tại M,NM,NM,N.

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ nhọn có các đường cao $B D, C E$ . Tia phân giác của các góc $A C E, A B D$ cắt nhau tại $O$ và cắt $A B, A C$ lần lượt tại $M, N$ . Tia $B N$ cắt $C E$ tại $K$ , tia $C M$ cắt $B D$ tại $H$ . Chứng minh:

a) $B N ⊥ C M$

b) Tứ giác $M N H K$ là hình thoi.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình bình hành và hình thoi để xác định.

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

Lời giải chi tiết

a) Do tam giác $A B D$ vuông tại $D$ và tam giác $A C E$ vuông tại $E$ nên $\hat{A B D} + \hat{A} = \hat{A C E} + \hat{A} = 90^{\circ}$ . Suy ra $\hat{A B D} = \hat{A C E}$ .

Mà $B N$ và $C M$ lần lượt là tia phân giác của $\hat{A B D}$ và $\hat{A C E}$ , suy ra $\hat{A B N} = \hat{D B N} = \hat{A C M} = \hat{E C M}$ .

Do tam giác $C E M$ vuông tại $E$ nên $\hat{E C M} + \hat{E M C} = 90^{\circ}$

Suy ra $\hat{A B N} + \hat{E M C} = 90^{\circ}$ hay $\hat{M B O} + \hat{B M O} = 90^{\circ}$ .

Do đó ta tính được $\hat{B O M} = 90^{\circ}$ . Vậy $B N ⊥ C M$ .

b) $Δ B M O = Δ B H O$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra $O M = O H$

$Δ C N O = Δ C K O$ (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra $O N = O K$ .

Tứ giác $M N H K$ có hai đường chéo $M H$ và $N K$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường nên $M N H K$ là hình bình hành.

Hình bình hành $M N H K$ có $M H ⊥ N K$ nên $M N H K$ là hình thoi.