Giải bài 28 trang 114

Đề bài

Cho lục giác đều ABCDEF. Về phía ngoài lục giác dựng các hình vuông BAA₁A₂, CBA₃A₄, DCA₅A₆, EDA₇A₈, FEA₉A₁₀, AFA₁₁A₁₂. Đa giác A₁A₂A₃…A₁₁A₁₂ có phải là đa giác đều không? Vì sao?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Vì ABCDEF là lục giác đều nên nó có tất các cạnh bằng nhau và tất cả các góc đều bằng $\frac{{2.360}^{o}}{6} = 120^{o}$ .

Ta có $\hat{A B C} + \hat{A B A_{2}} + \hat{A_{2} B A_{3}} + \hat{C B A_{3}} = 360^{o}$ .

Suy ra:

$\hat{A_{2} B A_{3}} = 360^{o} - \hat{A B C} - \hat{A B A_{2}} - \hat{C B A_{3}}$

$= 360^{o} - 120^{o} - 90^{o} - 90^{o} = 60^{o}$ .

Do BA₂ = AB (do BAA₁A₂ là hình vuông)_;BA₃ = BC (do CBA₃A₄) và AB = CD nên BA₂ = BA₃.

Do đó BA₂A₃ là tam giác đều.

Từ đó suy ra: A₂A₃ = BA₂ và $\hat{B A_{2} A_{3}} = 60^{o}$ .

Do đó A₂A₃ = BA (cùng bằng BA₂) và $\hat{A_{1} A_{2} A_{3}} = \hat{A_{1} A_{2} B} + \hat{B A_{2} A_{3}} = 90^{o} + 60^{o} = 150^{o}$ .

Tương tự, ta chứng minh được đa giác A₁A₂A₃…A₁₁A₁₂ có các góc đều bằng 150° và các cạnh đều bằng nhau và bằng BA.

Do đó, đa giác A₁A₂A₃…A₁₁A₁₂ là đa giác đều.