Giải bài 28 trang 70

Quan sát Hình 28 biết ˆAMN=ˆABC,ˆBAC=ˆBMLAMN^=ABC^,BAC^=BML^\widehat{AMN}=\widehat{ABC},\widehat{BAC}=\widehat{BML}.

Đề bài

Quan sát Hình 28 biết $\hat{A M N} = \hat{A B C}, \hat{B A C} = \hat{B M L}$ .

a) Chứng minh: $Δ A M N ∽ Δ M B L$ .

b) Xác định vị trí của điểm $M$ trên cạnh $A B$ để chu vi tam giác $A M N$ bằng $\frac{2}{3}$ chu vi tam giác $A B C$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào định nghĩa của tam giác đồng dạng:

Tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ gọi là đồng dạng với tam giác $A B C$ nếu:

$\hat{A^{'}} = \hat{A}, \hat{B^{'}} = \hat{B}, \hat{C^{'}} = \hat{C}$ ; $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C} = \frac{A^{'} C^{'}}{A C}$ .

Kí hiệu là $Δ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ Δ A B C$ .

Tỉ số các cạnh tương ứng $\frac{A^{'} B^{'}}{A B} = \frac{B^{'} C^{'}}{B C} = \frac{C^{'} A^{'}}{C A} = k$ gọi là tỉ số đồng dạng.

Và công thức tính chu vi tam giác.

Lời giải chi tiết

a) Vì $\hat{A M N} = \hat{A B C}$ nên $M N / / B C$ . Do đó $Δ A M N ∽ Δ A B C$ (1)

Vì $\hat{B A C} = \hat{B M L}$ nên $M L / / A C$ . Do đó $Δ M B L ∽ Δ A B C$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $Δ A M N ∽ Δ M B L$ ,

b) Giả sử $Δ A M N ∽ Δ A B C$ với tỉ số đồng dạng $k$ , ta có:

$\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C} = k$ .

→ $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C} = \frac{A M + A N + M N}{A B + A C + B C} = k$ hay (Chu vi tam giác $A M N$ ) : (Chu vi tam giác $A B C$ ) $= k$ .

Do đó để chu vi tam giác $A M N$ bằng $\frac{2}{3}$ chu vi tam giác $A B C$ thì $A M = \frac{2}{3} A B$ .

Ngược lại, dễ thấy nếu $A M = \frac{2}{3} A B$ thì chu vi tam giác $A M N$ bằng $\frac{2}{3}$ tam giác $A B C$ .

Vậy vị trí của điểm $M$ trên cạnh $A B$ để chu vi tam giác $A M N$ bằng chu vi tam giác $A B C$ là $A M = \frac{2}{3} A B$ .