Giải bài 28 trang 71

Cho phương trình ({x^2} + 2left( {k + 1} right)x + {k^2} + 2k = 0). a) Tìm các giá trị k để phương trình luôn có hai nghiệm ({x_1};{x_2})và (left| {{x_1}} right|.left| {{x_2}} right| = 1). b*) Tìm các giá trị k ((k < 0)) để phương trình luôn có hai nghiệm ({x_1};{x_2})trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơ

Đề bài

Cho phương trình $x^{2} + 2 (k + 1) x + k^{2} + 2 k = 0$ .

a) Tìm các giá trị k để phương trình luôn có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ và $| x_{1} | . | x_{2} | = 1$ .

b*) Tìm các giá trị k ( $k < 0$ ) để phương trình luôn có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Bước 1: Tìm tổng và tích của $x_{1}$ và $x_{2}$ .

Bước 2: Biến đổi $| x_{1} | | x_{2} | = | x_{1} x_{2} |$ và thay tích $x_{1} x_{2}$ vào hệ thức vừa tìm được.

Bước 3: Giải phương trình để tìm k.

b) Bước 1: Phương trình luôn có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm khi $x_{1} x_{2} < 0$ và $x_{1} + x_{2} < 0$ .

Bước 2: Thay tổng và tích của $x_{1}$ và $x_{2}$ vào 2 bất phương trình.

Bước 3: Giải bất phương trình, đối chiếu điều kiện để tìm k.

Lời giải chi tiết

Phương trình có các hệ số $a = 1; b = 2 (k + 1); c = k^{2} + 2 k$ , do đó $b^{'} = \frac{b}{2} = k + 1$ .

Ta có $Δ^{'} = {(k + 1)}^{2} - 1. (k^{2} + 2 k) = 1 > 0$ .

Vì $Δ^{'} > 0$ nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k.

a) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm nên áp dụng định lý Viète ta có:

$x_{1} + x_{2} = - 2 (k + 1); x_{1} . x_{2} = k^{2} + 2 k$

Ta có $| x_{1} | . | x_{2} | = 1$ hay $| x_{1} x_{2} | = 1$ ,

do đó $| k^{2} + 2 k | = 1$

suy ra $k^{2} + 2 k = 1$ hoặc $k^{2} + 2 k = - 1$

* $k^{2} + 2 k = 1$ hay $k^{2} + 2 k - 1 = 0$ .

Ta có $Δ^{'} = 1^{2} - 1. (- 1) = 2 > 0$ nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

$k = - 1 - \sqrt{2}; k = - 1 + \sqrt{2}$

* $k^{2} + 2 k = - 1$ hay $k^{2} + 2 k + 1 = 0$ .

Ta có $Δ^{'} = 1^{2} - 1.1 = 0$ nên phương trình có nghiệm kép: $k = - 1$ .

Vậy $k = - 1 - \sqrt{2}; k = - 1 + \sqrt{2}$ ; $k = - 1$ là các giá trị cần tìm.

b) Để phương trình luôn có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ trái dấu và nghiệm dương nhỏ hơn giá trị tuyệt đối của nghiệm âm thì $x_{1} x_{2} < 0$ và $x_{1} + x_{2} < 0$ hay $k^{2} + 2 k < 0$ và $- 2 (k + 1) < 0$

* $k^{2} + 2 k < 0$ hay $k (k + 2) < 0$

Vì $k < 0$ nên $k + 2 > 0$ , suy ra $k > - 2$ .

* $- 2 (k + 1) < 0$ hay $k + 1 > 0$ , suy ra $k > - 1$

Kết hợp với điều kiện $k < 0$ ta tìm được $- 1 < k < 0$ .