Giải bài 28 trang 92

Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E. Kẻ CK vuông góc với BI. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh: a) F, E, K thẳng hàng b) K, N, M thẳng hàng.

Đề bài

Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại F và E. Kẻ CK vuông góc với BI. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh:

a) F, E, K thẳng hàng

b) K, N, M thẳng hàng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh $\hat{A E F} = \hat{K E C} = \hat{K I C}$ suy ra F, E, K thẳng hàng.

Chứng minh $\hat{K M C} = \hat{N M C}$ suy ra K, N, M thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Gọi J là trung điểm của IC. Do ICE và ICK là các tam giác vuông lần lượt tại E và K nên JI = JC = JE = JK do tứ giác IEKC nội tiếp đường tròn.

Suy ra $\hat{K E C} = \hat{K I C}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung KC của đường tròn đường kính IC).

Lại có $\hat{A E F} = 90^{o} - \frac{\hat{A}}{2}$ và $\hat{K I C} = \frac{\hat{B} + \hat{C}}{2} = 90^{o} - \frac{\hat{A}}{2}$ .

Suy ra $\hat{A E F} = \hat{K E C} = \hat{K I C}$ . Vì vậy F, E, K thẳng hàng.

b) Tam giác MKB cân ở M suy ra $\hat{K M C} = 2. \frac{\hat{A B C}}{2} = \hat{A B C}$ . Lại có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC nên $\hat{N M C} = \hat{A B C}$ (hai góc đồng vị).

Suy ra $\hat{K M C} = \hat{N M C}$ . Vì vậy K, N, M thẳng hàng.