Giải bài 3.10 trang 34

Đề bài

Cho hình thang cân ABCD với hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AD, BC cắt nhau tại S. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh đường thẳng SO đi qua trung điểm của AB, đi qua trung điểm của CD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất của hình thang cân, tam giác cân, đường trung trực.

Lời giải chi tiết

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC, AC = BD, $\hat{A D C} = \hat{B C D}$

Xét $Δ A B C$ và $Δ B A D$ có

$B C = A D, A C = B D$

Cạnh AB chung

Do đó $Δ A B C = Δ B A D$ (c.c.c)

Suy ra $\hat{B A C} = \hat{A B D}$ .

Từ đó $Δ O A B$ là tam giác cân tại O, nên $O A = O B .$

Ta có: $O A + O C = A C$ ; $O B + O D = B D$ , mà $O A = O B, A C = B D$

Suy ra $O C = O D$

Do đó O cách đều A và B; O cách đều C và D;

Do $A B / / C D$ nên $\hat{S A B} = \hat{S D C}$ ; $\hat{S B A} = \hat{S C D}$ (các cặp góc ở vị trí đồng vị)

Mà $\hat{A D C} = \hat{B C D}$ hay $\hat{S D C} = \hat{S C D}$

suy ra $\hat{S A B} = \hat{S D C} = \hat{S B A} = \hat{S C D}$ .

Suy ra là $Δ S A B$ , $Δ S C D$ các tam giác cân tại đỉnh S nên $S A = S B, S C = S D$

Do đó S cũng cách đều A và B, cách đều C và D.

Vậy S và O cùng nằm trên đường trung trực của AB, của CD nên đường thẳng SO đi qua trung điểm của AB, CD.