Giải bài 3.10 trang 34

Cho hình thang cân ABCD với hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AD, BC cắt nhau tại S.

Đề bài

Cho hình thang cân ABCD với hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AD, BC cắt nhau tại S. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh đường thẳng SO đi qua trung điểm của AB, đi qua trung điểm của CD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất của hình thang cân, tam giác cân, đường trung trực.

Lời giải chi tiết

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC, AC = BD, $\hat{A D C} = \hat{B C D}$

Xét $Δ A B C$ và $Δ B A D$ có

$B C = A D, A C = B D$

Cạnh AB chung

Do đó $Δ A B C = Δ B A D$ (c.c.c)

Suy ra $\hat{B A C} = \hat{A B D}$ .

Từ đó $Δ O A B$ là tam giác cân tại O, nên $O A = O B .$

Ta có: $O A + O C = A C$ ; $O B + O D = B D$ , mà $O A = O B, A C = B D$

Suy ra $O C = O D$

Do đó O cách đều A và B; O cách đều C và D;

Do $A B / / C D$ nên $\hat{S A B} = \hat{S D C}$ ; $\hat{S B A} = \hat{S C D}$ (các cặp góc ở vị trí đồng vị)

Mà $\hat{A D C} = \hat{B C D}$ hay $\hat{S D C} = \hat{S C D}$

suy ra $\hat{S A B} = \hat{S D C} = \hat{S B A} = \hat{S C D}$ .

Suy ra là $Δ S A B$ , $Δ S C D$ các tam giác cân tại đỉnh S nên $S A = S B, S C = S D$

Do đó S cũng cách đều A và B, cách đều C và D.

Vậy S và O cùng nằm trên đường trung trực của AB, của CD nên đường thẳng SO đi qua trung điểm của AB, CD.