Giải bài 3.10 trang 34

Không dùng MTCT, chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị là số nguyên: a) (sqrt {8 + sqrt {15} } .sqrt {8 - sqrt {15} } ); b) ({left( {sqrt {6 - sqrt {11} } + sqrt {6 + sqrt {11} } } right)^2}).

Đề bài

Không dùng MTCT, chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị là số nguyên:

a) $\sqrt{8 + \sqrt{15}} . \sqrt{8 - \sqrt{15}}$ ;

b) ${(\sqrt{6 - \sqrt{11}} + \sqrt{6 + \sqrt{11}})}^{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Với A, B là các biểu thức không âm, ta có $\sqrt{A} . \sqrt{B} = \sqrt{A B}$ .

+ $\sqrt{A^{2}} = | A |$ với mọi biểu thức A.

+ Với A là biểu thức không âm, ${(\sqrt{A})}^{2} = A (A \geq 0)$ .

Lời giải chi tiết

a) $\sqrt{8 + \sqrt{15}} . \sqrt{8 - \sqrt{15}}$

$= \sqrt{(8 + \sqrt{15}) (8 - \sqrt{15})}$

$= \sqrt{8^{2} - {(\sqrt{15})}^{2}}$

$= \sqrt{49} = \sqrt{7^{2}} = 7$

Vậy biểu thức $\sqrt{8 + \sqrt{15}} . \sqrt{8 - \sqrt{15}}$ có giá trị là số nguyên.

b) ${(\sqrt{6 - \sqrt{11}} + \sqrt{6 + \sqrt{11}})}^{2}$

$= {(\sqrt{6 - \sqrt{11}})}^{2} + 2 \sqrt{6 - \sqrt{11}} . \sqrt{6 + \sqrt{11}} + {(\sqrt{6 + \sqrt{11}})}^{2}$

$= 6 - \sqrt{11} + 2 \sqrt{(6 - \sqrt{11}) (6 + \sqrt{11})} + 6 + \sqrt{11}$

$= 12 + 2 \sqrt{6^{2} - {(\sqrt{11})}^{2}}$

$= 12 + 2 \sqrt{25} = 12 + 10 = 22$

Vậy biểu thức ${(\sqrt{6 - \sqrt{11}} + \sqrt{6 + \sqrt{11}})}^{2}$ có giá trị là số nguyên.