Giải bài 3.10 trang 66

Đề bài

Trong HĐ7, bằng cách xét tam giác vuông OIA và tính tỉ số $\frac{I A}{O A}$ , chứng minh rằng trong phép chiếu trục đo vuông góc đều thì $p = q = r = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Các tỉ số $p = \frac{O^{'} A^{'}}{O A}, q = \frac{O^{'} B^{'}}{O B}, r = \frac{O^{'} C^{'}}{O C}$ lần lượt là hệ số biến dạng theo trục $O^{'} x^{'}; O^{'} y^{'}; O^{'} z^{'}$ .

Lời giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có: O.ABC là hình chóp tam giác đều nên OA = OB = OC.

Vì I là tâm tam giác đều ABC nên . (1)

Tam giác OBC vuông cân tại O nên OM vừa là đường cao, vừa là đường phân giác, vừa là đường trung tuyến.

Suy ra $O M = \frac{1}{2} B C$ hay 2OM = BC.

Tam giác vuông cân OBC có $2 O B^{2} = B C^{2} .$

Do đó: $2 O B^{2} = 4 O M^{2}$ . Suy ra $O M^{2} = \frac{1}{2} O A^{2} . (2)$

Tam giác OIM vuông tại I có: $O I^{2} + I M^{2} = O M^{2} . (3)$

Mà $O I^{2} = O A^{2} - I A^{2}$ (tam giác OIA vuông tại I) (4)

Thay (1), (2), (4) vào (3) ta được: $O A^{2} - I A^{2} + \frac{1}{4} I A^{2} = \frac{1}{2} O A^{2}$

Suy ra $\frac{I A^{2}}{O A^{2}} = \frac{2}{3}$ nên $\frac{I A}{O A} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Mà IA = O'A' (do AIO'A' là hình bình hành).

Do đó, $p = q = r = \frac{O^{'} A^{'}}{O A} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .