Giải bài 3.11 trang 43

Đề bài

Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong Hình 3.19. Để rút ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D. Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Tính AC: $A C^{2} = B C^{2} + B A^{2} - 2. B C . B A . \cos A B C$ .

Bước 2: Tính góc ACB, suy ra góc ACD.

Bước 3: Tính AD: $A D^{2} = D C^{2} + C A^{2} - 2. D C . C A \cos A C D$ .

Bước 4: Tính số kilomet giảm đi so với đường cũ.

Lời giải chi tiết

Bước 1:

Áp dụng định lí cos trong tam giác ABC ta có:

$\begin{array}{l} A C^{2} = 6^{2} + 8^{2} - 2.6.8. \cos 105^{o} \\ \Rightarrow A C \approx 11, 17 (k m) \end{array}$

Bước 2:

Lại có: Theo định lí sin thì

$\begin{array}{l} \frac{A B}{\sin A C B} = \frac{A C}{\sin A B C} \Rightarrow \sin A C B = \frac{8. \sin 105^{o}}{11, 1735} \\ \Rightarrow \hat{A C B} \approx 43, 77^{o} \\ \Rightarrow \hat{A C D} = 135^{o} - 44, 77^{o} = 91, 23^{o} \end{array}$

Bước 3:

Áp dụng định lí cos trong tam giác ACD ta có:

$\begin{array}{l} A D^{2} = 12^{2} + 11, 17^{2} - 2.12.11, 17 \cos 91, 23^{o} \\ \Rightarrow A D \approx 16, 57 (k m) \end{array}$

Bước 4:

Độ dài đường mới giảm số kilomet so với đường cũ là: $12 + 6 + 8 - 16, 57 = 9, 43 (k m)$