Giải bài 3.12 trang 66

Đề bài

Cho ABCD là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD và AD. Chứng minh rằng:

a) AMPD là hình bình hành

b) AN song song CQ

c) MNPQ là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

Có ABCD là hình bình hành nên $AB//CD;AB=CD.$

M và P lần lượt là trung điểm của AB và DC nên $AM=\frac{1}{2}AB;DP=\frac{1}{2}DC$ suy ra $AM=DP\left(1\right)$

Vì $AB//DC$ nên $AM//DP\left(2\right)$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $AMPD$ là hình bình hành (dhnb).

b) Có ABCD là hình bình hành nên $AD//BC;AD=BC$

Q và N lần lượt là trung điểm của AD và BC nên $AQ=\frac{1}{2}AD;CN=\frac{1}{2}BC$. Do đó $AQ=CN\left(3\right)$

Vì $AD//BC$ nên $AQ//CN\left(4\right)$

Từ $\left(3\right)$ và $\left(4\right)$ suy ra AQCN là hình bình hành (dhnb) nên $AN//CQ$ (tính chất hbh).

c) Xét tam giác ABD có QM là đường trung bình nên $QM//BD;QM=\frac{1}{2}BD\left(5\right)$

Xét tam giác BCD có PN là đường trung bình nên $PN//BD;PN=\frac{1}{2}BD\left(6\right)$

Từ $\left(5\right)$ và $\left(6\right)$ suy ra $QM//PN;QM=PN$. Do đó MNPQ là hình bình hành (dhnb).