Giải bài 3.13 trang 39

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho tam giác $A B C .$ Chứng minh rằng:

a) $\cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 S} .$

b) $m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) sử dụng định lý sin và công thức tính diện tích tam giác.

b) sử dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác.

Lời giải chi tiết

a) $\cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 S} .$

$\begin{array}{l} V T = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} + \frac{\cos C}{\sin C} = \frac{\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}}{\frac{2 S}{b c}} + \frac{\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}}{\frac{2 S}{a c}} + \frac{\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}}{\frac{2 S}{a b}} \\ = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{4 S} + \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 S} + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 S} \\ = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4 S} = V P (d p c m) \end{array}$

b) $m_{a}^{2} + m_{b}^{2} + m_{c}^{2} = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) .$

$\begin{array}{l} V T = (\frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}) + (\frac{a^{2} + c^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4}) + (\frac{a^{2} + b^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4}) \\ = \frac{2 (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{2} - \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{4} \\ = \frac{3}{4} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = V P (d p c m) . \end{array}$