Giải bài 3.14 trang 34

Cho a, b là hai số dương khác nhau thỏa mãn điều kiện (a - b = sqrt {1 - {b^2}} - sqrt {1 - {a^2}} ). Chứng minh rằng ({a^2} + {b^2} = 1).

Đề bài

Cho a, b là hai số dương khác nhau thỏa mãn điều kiện $a - b = \sqrt{1 - b^{2}} - \sqrt{1 - a^{2}}$ . Chứng minh rằng $a^{2} + b^{2} = 1$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Với A, B là các biểu thức không âm, ta có $\sqrt{A} . \sqrt{B} = \sqrt{A B}$ .

+ $\sqrt{A^{2}} = | A |$ với mọi biểu thức A.

+ Với A là biểu thức không âm, ${(\sqrt{A})}^{2} = A (A \geq 0)$ .

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $0 < a, b \leq 1, a \neq b$

Ta có:

$a - b = \sqrt{1 - b^{2}} - \sqrt{1 - a^{2}}$

$a + \sqrt{1 - a^{2}} = \sqrt{1 - b^{2}} + b$

${(a + \sqrt{1 - a^{2}})}^{2} = {(\sqrt{1 - b^{2}} + b)}^{2}$

$a^{2} + 2 a \sqrt{1 - a^{2}} + 1 - a^{2} = b^{2} + 2 b \sqrt{1 - b^{2}} + 1 - b^{2}$

$a \sqrt{1 - a^{2}} = b \sqrt{1 - b^{2}}$

${(a \sqrt{1 - a^{2}})}^{2} = {(b \sqrt{1 - b^{2}})}^{2}$

$a^{2} - a^{4} = b^{2} - b^{4}$

$a^{4} - b^{4} + b^{2} - a^{2} = 0$

$(a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2}) - (a^{2} - b^{2}) = 0$

$(a^{2} - b^{2}) (a^{2} + b^{2} - 1) = 0$

$a^{2} + b^{2} - 1 = 0$ (do $a \neq b$ nên $a^{2} - b^{2} \neq 0$ ) hay $a^{2} + b^{2} = 1$ .