Giải bài 3.14 trang 37

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD với góc A tù. Dựng bên ngoài hình bình hành đó các tam giác đều ABE và DAF. Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều.

(Gợi ý: Chứng minh các tam giác AEF, DCF, BEC bằng nhau)

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình bình hành nên $AB=CD,AD=BC$, $\widehat{ADC}=\widehat{ABC}={180}^0-\widehat{BAD}$

Vì $\Delta$ABE đều nên $AE=EB=AB$; $\widehat{EAB}=\widehat{ABE}=\widehat{AEB}={60}^0$

Vì $\Delta$ADF đều nên $AD=DF=AF$; $\widehat{FAD}=\widehat{FDA}=\widehat{ADF}={60}^0$

Ta có: $\widehat{FAE}={360}^0-\widehat{EAB}-\widehat{DAB}-\widehat{FAD}={240}^0-\widehat{DAB}$

$\widehat{FDC}=\widehat{FDA}+\widehat{ADC}={60}^0+{180}^0-\widehat{DAB}={240}^0-\widehat{DAB}$

Do đó, $\widehat{FAE}=\widehat{FDC}$

Tam giác AEF và tam giác DCF có:

$AF=DF\left(cmt\right),\widehat{FAE}=\widehat{FDC}\left(cmt\right),AE=DC\left(=AB\right)$

Suy ra $\Delta AEF=\Delta DCF\left(c-g-c\right)$, do đó, $FE=CF\left(1\right)$

Ta có: $\widehat{FDC}=\widehat{FDA}+\widehat{ADC}={60}^0+\widehat{ABC}=\widehat{ABE}+\widehat{ABC}=\widehat{EBC}$

Tam giác EBC và tam giác FDC có:

$BC=DF\left(=AD\right),\widehat{EBC}=\widehat{FDC}\left(cmt\right),EB=DC\left(=AB\right)$

Suy ra $\Delta BEC=\Delta DCF\left(c-g-c\right)$, do đó, $EC=CF\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có: $EC=CF=FE$ nên tam giác FEC đều.