Giải bài 3.14 trang 37

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD với góc A tù. Dựng bên ngoài hình bình hành đó các tam giác đều ABE và DAF. Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều.

(Gợi ý: Chứng minh các tam giác AEF, DCF, BEC bằng nhau)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tính chất hình bình hành để chứng minh: Hình bình hành có:

+ Các cạnh đối bằng nhau và song song.

+ Các góc đối bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình bình hành nên $A B = C D, A D = B C$ , $\hat{A D C} = \hat{A B C} = 180^{0} - \hat{B A D}$

Vì $Δ$ ABE đều nên $A E = E B = A B$ ; $\hat{E A B} = \hat{A B E} = \hat{A E B} = 60^{0}$

Vì $Δ$ ADF đều nên $A D = D F = A F$ ; $\hat{F A D} = \hat{F D A} = \hat{A D F} = 60^{0}$

Ta có: $\hat{F A E} = 360^{0} - \hat{E A B} - \hat{D A B} - \hat{F A D} = 240^{0} - \hat{D A B}$

$\hat{F D C} = \hat{F D A} + \hat{A D C} = 60^{0} + 180^{0} - \hat{D A B} = 240^{0} - \hat{D A B}$

Do đó, $\hat{F A E} = \hat{F D C}$

Tam giác AEF và tam giác DCF có:

$A F = D F (c m t), \hat{F A E} = \hat{F D C} (c m t), A E = D C (= A B)$

Suy ra $Δ A E F = Δ D C F (c - g - c)$ , do đó, $F E = C F (1)$

Ta có: $\hat{F D C} = \hat{F D A} + \hat{A D C} = 60^{0} + \hat{A B C} = \hat{A B E} + \hat{A B C} = \hat{E B C}$

Tam giác EBC và tam giác FDC có:

$B C = D F (= A D), \hat{E B C} = \hat{F D C} (c m t), E B = D C (= A B)$

Suy ra $Δ B E C = Δ D C F (c - g - c)$ , do đó, $E C = C F (2)$

Từ (1) và (2) ta có: $E C = C F = F E$ nên tam giác FEC đều.