Giải bài 3.16 trang 44

Đề bài

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) $\cos \hat{A M B} + \cos \hat{A M C} = 0$ ;

b) $M A^{2} + M B^{2} - A B^{2} = 2. M A . M B . \cos \hat{A M B}$ và $M A^{2} + M C^{2} - A C^{2} = 2. M A . M C . \cos \hat{A M C}$ ;

c) $M A^{2} = \frac{2 (A B^{2} + A C^{2}) - B C^{2}}{4}$ (công thức đường trung tuyến).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau:

$- \cos x = \cos (180^{o} - x)$ .

b) Định lí cos: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ cho tam giác tương ứng.

c) Suy ra từ b, lưu ý rằng: ${\begin{cases} \cos \hat{A M C} + \cos \hat{A M B} = 0 \\ M B = M C = \frac{B C}{2} \end{cases}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\hat{A M B} + \hat{A M C} = 180^{o}$

$\Rightarrow \cos \hat{A M B} = - \cos \hat{A M C}$

hay $\cos \hat{A M B} + \cos \hat{A M C} = 0$ .

b) Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta có:

$A B^{2} = M A^{2} + M B^{2} - 2 M A . M B \cos \hat{A M B}$

$\Leftrightarrow M A^{2} + M B^{2} - A B^{2} = 2 M A . M B \cos \hat{A M B}$ (1)

Tương tự, áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta được:

$A C^{2} = M A^{2} + M C^{2} - 2 M A . M C \cos \hat{A M C}$

$\Leftrightarrow M A^{2} + M C^{2} - A C^{2} = 2 M A . M C \cos \hat{A M C}$ (2)

c) Từ (1), suy ra $M A^{2} = A B^{2} - M B^{2} + 2 M A . M B \cos \hat{A M B}$ .

Từ (2), suy ra $M A^{2} = A C^{2} - M C^{2} + 2 M A . M C \cos \hat{A M C}$ .

Cộng vế với vế ta được:

$2 M A^{2} = (A B^{2} - M B^{2} + 2 M A . M B \cos \hat{A M B})$

$+ (A C^{2} - M C^{2} + 2 M A . M C \cos \hat{A M C})$

$\Leftrightarrow 2 M A^{2} = A B^{2} + A C^{2} - M B^{2} - M C^{2}$

$+ 2 M A . M B \cos \hat{A M B} + 2 M A . M C \cos \hat{A M C}$ .

Mà: $M B = M C = \frac{B C}{2}$ (do AM là trung tuyến)

$\Rightarrow 2 M A^{2} = A B^{2} + A C^{2} - {(\frac{B C}{2})}^{2} - {(\frac{B C}{2})}^{2}$

$+ 2 M A . M B \cos \hat{A M B} + 2 M A . M B \cos \hat{A M C}$

$\Leftrightarrow 2 M A^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2. {(\frac{B C}{2})}^{2}$

$+ 2 M A . M B (\cos \hat{A M B} + \cos \hat{A M C})$

$\Leftrightarrow 2 M A^{2} = A B^{2} + A C^{2} - {\frac{B C}{2}}^{2}$

$\Leftrightarrow M A^{2} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - {\frac{B C}{2}}^{2}}{2}$

$\Leftrightarrow M A^{2} = \frac{2 (A B^{2} + A C^{2}) - B C^{2}}{4}$ .

Cách 2:

Theo ý a, ta có: $\cos \hat{A M C} = - \cos \hat{A M B}$

Từ đẳng thức (1): suy ra $\cos \hat{A M B} = \frac{M A^{2} + M B^{2} - A B^{2}}{2. M A . M B}$

$\Rightarrow \cos \hat{A M C} = - \cos \hat{A M B} = - \frac{M A^{2} + M B^{2} - A B^{2}}{2. M A . M B}$ .

Thế $\cos \hat{A M C}$ vào biểu thức (2), ta được:

$M A^{2} + M C^{2} - A C^{2} = 2 M A . M C . (- \frac{M A^{2} + M B^{2} - A B^{2}}{2. M A . M B})$

Lại có: $M B = M C = \frac{B C}{2}$ (do AM là trung tuyến)

$\Rightarrow M A^{2} + {(\frac{B C}{2})}^{2} - A C^{2} = 2 M A . M B . (- \frac{M A^{2} + M B^{2} - A B^{2}}{2. M A . M B})$

$\Leftrightarrow M A^{2} + {(\frac{B C}{2})}^{2} - A C^{2} = - (M A^{2} + M B^{2} - A B^{2})$

$\Leftrightarrow M A^{2} + {(\frac{B C}{2})}^{2} - A C^{2} + M A^{2} + {(\frac{B C}{2})}^{2} - A B^{2} = 0$

$\Leftrightarrow 2 M A^{2} - A B^{2} - A C^{2} + {\frac{B C}{2}}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow 2 M A^{2} = A B^{2} + A C^{2} - {\frac{B C}{2}}^{2}$

$\Leftrightarrow M A^{2} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - {\frac{B C}{2}}^{2}}{2}$

$\Leftrightarrow M A^{2} = \frac{2 (A B^{2} + A C^{2}) - B C^{2}}{4}$ .