Giải bài 3.18 trang 37

Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E thuộc AB, F thuộc CD sao cho (AE = CF); lấy các điểm G thuộc BC, H thuộc AD sao cho (BG = DH.)

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E thuộc AB, F thuộc CD sao cho $A E = C F$ ; lấy các điểm G thuộc BC, H thuộc AD sao cho $B G = D H .$ Chứng minh EGFH là một hình bình hành và các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về tính chất hình bình hành để chứng minh: Hình bình hành có:

+ Các cạnh đối bằng nhau và song song.

+ Các góc đối bằng nhau.

+ Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình bình hành nên $A B = C D, A D = B C,$ $\hat{A B C} = \hat{A D C}, \hat{D A B} = \hat{D C B}$

Vì $A B = C D$ , $A E = C F$ nên $A B - A E = C D - F C$ , suy ra $E B = D F$

Vì $A D = B C$ , $D H = B G$ nên $A D - D H = B C - B G$ , suy ra $A H = C G$

Tam giác HEA và tam giác GCF có:

$A E = C F (g t), \hat{H A E} = \hat{G C F} (c m t), A H = C G (c m t)$

Do đó, $Δ H A E = Δ G C F (c - g - c)$ , suy ra $H E = F G$

Tam giác EBG và tam giác FDH có:

$B G = D H (g t), \hat{E B G} = \hat{H D F} (c m t), E B = D F (c m t)$

Do đó, $Δ E B G = Δ F D H (c - g - c)$ , suy ra $G E = F H$

Tứ giác EGFH có: $H E = F G$ , $G E = F H$ nên EGFH là một hình bình hành.

Gọi O là trung điểm của AC.

Vì ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O và O là trung điểm của BD (1).

Tứ giác EBFD có: EB//DF, $E B = D F$ nên tứ giác EBDF là hình bình hành. Do đó, hai đường chéo EF và BD cắt nhau tại trung điểm O của BD (2).

Vì tứ giác EGFH là hình bình hành nên hai đường chéo EF và GH cắt nhau tại trung điểm O của EF (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có: Các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy tại O.