Giải bài 3.18 trang 60

Đề bài

Cho hai elip $\left(E_1\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ và $\left(E_2\right):\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$

a) Tìm mối quan hệ giữa hai tâm sai của các elip đó

b) Chứng minh rằng với mỗi điểm M thuộc elip $\left(E_2\right)$ thì trung điểm N của đoạn thẳng OM thuộc elip $\left(E_1\right).$

Lời giải chi tiết

a) $\left(E_1\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ có $a=5,b=4\Rightarrow c=3$

Vậy tâm sai $e_1=\frac{3}{5}$

$\left(E_2\right):\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$ có $a=10,b=8\Rightarrow c=6$

Vậy tâm sai $e_2=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}=e_1$

b) Giả sử $M(x_0;y_0)$ thuộc $\left(E_2\right).$

$\Rightarrow$ Trung điểm N của OM là: $N(\frac{x_0}{2};\frac{y_0}{2})$

Ta có: $\frac{{x_0}^2}{100}+\frac{{y_0}^2}{64}=1\iff \frac{\frac{{x_0}^2}{4}}{25}+\frac{\frac{{y_0}^2}{4}}{16}=1\iff \frac{{\left(\frac{x_0}{2}\right)}^2}{25}+\frac{{\left(\frac{y_0}{2}\right)}^2}{16}=1$

$\Rightarrow$ N thuộc $\left(E_1\right).$