Giải bài 3.19 trang 36

Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên: (P = left( {frac{{sqrt 5 + 1}}{{1 + sqrt 5 + sqrt 3 }} + frac{{sqrt 5 - 1}}{{1 + sqrt 3 - sqrt 5 }}} right)left( {sqrt 3 - frac{4}{{sqrt 3 }} + 2} right).sqrt {0,2} ).

Đề bài

Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên:

$P = (\frac{\sqrt{5} + 1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} - 1}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}}) (\sqrt{3} - \frac{4}{\sqrt{3}} + 2) . \sqrt{0, 2} .$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0, A \neq B^{2}$ ta có $\frac{C}{\sqrt{A} - B} = \frac{C (\sqrt{A} + B)}{A - B^{2}}$ .

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\frac{\sqrt{5} + 1}{1 + \sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} - 1}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5} + 1) (1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} - 1) (1 + \sqrt{5} + \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{5} + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3} - \sqrt{5})} = \frac{(\sqrt{5} + 1) (1 - \sqrt{5}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{5}) + (\sqrt{5} - 1) (1 + \sqrt{5}) + \sqrt{3} (\sqrt{5} - 1)}{{(\sqrt{3} + 1)}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{15}}{2 \sqrt{3} - 1}$

Do đó,

$P = \frac{2 \sqrt{15}}{2 \sqrt{3} - 1} . \frac{3 - 4 + 2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} . \sqrt{0, 2} = \frac{2 \sqrt{15}}{2 \sqrt{3} - 1} . \frac{2 \sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}} . \sqrt{0, 2} = 2 \sqrt{5} . \sqrt{0, 2} = 2 \sqrt{0, 2.5} = 2$