Giải bài 3.19 trang 80

Đề bài

Trong không gian cho điểm A và ba mặt phẳng đôi một vuông góc (P₁), (P₂) và (P₃) giao nhau tại O. Gọi A₁, A₂, A₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các mặt phẳng (P₁), (P₂) và (P₃). Gọi M, N, P lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A xuống các giao tuyến của (P₁) và (P₂), (P₂) và (P₃), (P₃) và (P₁).

a) Chứng minh $O A^{2} = O M^{2} + O N^{2} + O P^{2} .$

b) Áp dụng ý a để chứng minh $O A = \sqrt{\frac{O A_{1}^{2} + O A_{2}^{2} + O A_{3}^{2}}{2}}$

Sử dụng kết quả trên để tính độ dài của một đoạn thẳng mà ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Vẽ hình và sử dụng định lý Pytago để làm

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí Pythagore cho các tam giác vuông.

Tam giác OMA vuông tại M có: OA² = OM² + AM² (1)

Tam giác ONA vuông tại N có: OA² = ON² + AN² (2)

Tam giác OPA vuông tại P có: OA² = OP² + AP² (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) ta được:

3OA² = (OM² + ON² + OP²) + (AM² + AN² + AP²)

Ta chứng minh được: AM² + AN² + AP² = 2OA². (4)

Suy ra: OA² = OM² + ON² + OP².

b) Vì AM vuông góc OM, OM // AA₃ nên AM vuông góc AA₃

Mà AA₃ vuông góc với OA₃

Suy ra: AM // OA₃ và AA₃ // OM nên AMOA₃ là hình bình hành.

Do đó: AM = OA₃.

Chứng minh tương tự ta được: AN = OA₁, AP = OA₂.

Thay kết quả trên vào (4) ta được: $O A_{3}^{2} + O A_{2}^{2} + O A_{1}^{2} = 2 O A_{2}$ .

Suy ra $O A = \sqrt{\frac{O A_{1}^{2} + O A_{2}^{2} + O A_{3}^{2}}{2}}$ .

Ba hình chiếu có độ dài lần lượt là 1 cm, 2 cm và 3 cm.

Thay số vào kết quả trên ta được: $O A = \sqrt{\frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}}{2}} = \sqrt{7}$ (cm).