Giải bài 3.21 trang 39

Đề bài

Hai đường trung tuyến BM, CN của tam giác ABC cân tại A cắt nhau tại G. Gọi H, K lần lượt là điểm sao cho trung điểm của GH là M, trung điểm của GK là N. Chứng minh tứ giác BCHK là hình chữ nhật.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật để chứng minh: Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Vì BM, CN là hai đường trung tuyến của tam giác ABC nên M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB. Hai đường trung tuyến này cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC. Do đó, AG là đường trung tuyến của tam giác.

Mà tam giác ABC cân tại A nên AG là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Suy ra $A G ⊥ B C$

Do M là trung điểm của AC và GH nên tứ giác AGCH là hình bình hành, do đó $H C = A G$ , HC//AG

Do N là trung điểm của AB và KG nên tứ giác AKBG là hình bình hành, do đó $K B = A G,$ KB//AG

Do đó, $H C = K B, H C / / K B$

Suy ra, tứ giác KBCH là hình bình hành.

Vì $A G ⊥ B C$ nên $K B ⊥ B C$ nên $\hat{K B C} = 90^{0}$

Vậy tứ giác BCHK là hình chữ nhật.