Giải bài 3.21 trang 69

Đề bài

Để đánh giá độ chính xác của hai hệ thống đóng gói tự động các túi cà phê của hai phân xưởng người ta tiến hành thu nhập mẫu số liệu về khối lượng của một số gói cà phê (đơn vị tính bằng gam) của mỗi phân xưởng cho kết quả như sau:

Phân xưởng A: 203, 207, 205, 197, 208, 192, 206 , 202, 200, 196, 195, 194, 203, 197, 193, 199, 198, 195, 206, 204.

Phân xưởng B:

Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của khối lượng một gói cà phê do các phân xưởng A, B sản xuất. Dựa trên kết quả tính được, hãy nêu nhận xét về độ chính xác của hai hệ thống đóng gói.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xét từng mẫu dữ liệu, sử dụng các công thức đã học để tìm số trung bình và độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu (mẫu số liệu A là mẫu số liệu gốc, mẫu B là mẫu số liệu ghép nhóm). So sánh hai giá trị độ lệch chuẩn để rút ra nhận xét về độ chính xác của hai hệ thống đóng gói tự động.

Lời giải chi tiết

+ Xét mẫu số liệu về khối lượng các gói cà phê của hệ thống A:

Cỡ mẫu là $n = 20$ . Giá trị trung bình của mẫu là

$\bar{x_{A}} = (\begin{array}{l} 203 + 207 + 205 + 197 + 208 + 192 + 206 + 202 + 200 + 196 \\ + 195 + 194 + 203 + 197 + 193 + 199 + 198 + 195 + 206 + 204 \end{array}) \div 2 = \frac{4000}{20} = 200$ .

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

$s_{A} = \sqrt{\frac{1}{n} (\begin{array}{l} 203^{2} + 207^{2} + 205^{2} + 197^{2} + 208^{2} + 192^{2} + 206^{2} + 202^{2} + 200^{2} + 196^{2} \\ + 195^{2} + 194^{2} + 203^{2} + 197^{2} + 193^{2} + 199^{2} + 198^{2} + 195^{2} + 206^{2} + 204^{2} \end{array}) - {(\bar{x})}^{2}}$ $= \sqrt{\frac{1}{20} \cdot 800486 - 200^{2}} = \sqrt{24, 3} \approx 4, 9295$ .

+ Xét mẫu số liệu về khối lượng các gói cà phê của hệ thống B:

Chọn giá trị đại diện cho các nhóm số liệu ta có bảng sau:

Cỡ mẫu là $m = 20$ .

Giá trị trung bình của mẫu số liệu là $\bar{x_{B}} = \frac{192 \cdot 2 + 196 \cdot 5 + 200 \cdot 6 + 204 \cdot 5 + 208 \cdot 2}{20} = \frac{4000}{20} = 200$ .

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

$s_{B} = \sqrt{\frac{1}{m} (192^{2} \cdot 2 + 196^{2} \cdot 5 + 200^{2} \cdot 6 + 204^{2} \cdot 5 + 208^{2} \cdot 2) - {(\bar{x_{B}})}^{2}} = \sqrt{\frac{800414}{20} - 200^{2}} = \sqrt{\frac{104}{5}} \approx 4, 5607$ .

Từ các kết quả tính được, ta thấy giá trị trung bình của hai mẫu số liệu giống nhau nhưng có sự khác biệt về độ lệch chuẩn. Độ lệch chuẩn của khối lượng một gói cà phê do phân xưởng B sản xuất khoảng $4, 5607$ g nhỏ hơn độ lệch chuẩn phân xưởng A sản xuất với $s_{A} \approx 4, 9295$ hay dữ liệu khối lượng các gói cà phê của phân xưởng A phân tán hơn phân xưởng B. Vậy hệ thống đóng gói tự động của phân xưởng B tốt hơn phân xưởng A.