Giải bài 3.22 trang 61

Đề bài

Viết phương trình đường conic biết tâm sai bằng $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ , một tiêu điểm $F (- 1; 0)$ và đường chuẩn tương ứng $Δ : x + y + 1 = 0$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho đường conic có tâm sai $e > 0$ , đường chuẩn $Δ$ không đi qua tiêu điểm F.

Khi đó: $\frac{M F}{d (M, Δ)} = e$ với M bất kì thuộc conic đó.

Lời giải chi tiết

Điểm $M (x; y)$ thuộc đường conic khi và chỉ khi

$\begin{array}{l} \frac{M F}{d (M, Δ)} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \sqrt{2} \sqrt{{(x + 1)}^{2} + y^{2}} = \frac{| x + y + 1 |}{\sqrt{2}} \\ \Leftrightarrow 4 [{(x + 1)}^{2} + y^{2}] = {(x + y + 1)}^{2} \\ \Leftrightarrow 4. (x^{2} + y^{2} + 2 x + 1) = x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y + 2 x y + 1 \\ \Leftrightarrow 3 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x y + 6 x - 2 y + 3 = 0 \end{array}$

Vậy đường conic có phương trình là $3 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x y + 6 x - 2 y + 3 = 0$

Vì $0 < \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$ nên đường conic là đường elip.