Giải bài 3.23 trang 61

Đề bài

Chứng minh rằng đồ thị của hàm số $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ là một parabol có tiêu điểm là $F (\frac{- b}{2 a}; \frac{1 - Δ}{4 a})$ và đường chuẩn là $y = - \frac{1 + Δ}{4 a}$ , trong đó $Δ = b^{2} - 4 a c .$

Lời giải chi tiết

Lấy $M (x; a x^{2} + b x + c)$ bất kì thuộc đồ thị hàm số.

Để đồ thị của hàm số $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ là một parabol có tiêu điểm là $F (\frac{- b}{2 a}; \frac{1 - Δ}{4 a})$ và đường chuẩn là $y = - \frac{1 + Δ}{4 a}$ thì $\frac{M F}{d (M, Δ)} = e = 1$

Ta có: $M F = \sqrt{{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {(a x^{2} + b x + c - \frac{1 - b^{2} + 4 a c}{4 a})}^{2}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow M F^{2} = {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + {(a x^{2} + b x - \frac{1 - b^{2}}{4 a})}^{2} \\ \Rightarrow 16 a^{2} M F^{2} = 4 {(2 a x + b)}^{2} + {(4 a^{2} x^{2} + 4 a b x - 1 + b^{2})}^{2} \\ = 4 {(2 a x + b)}^{2} + {({(2 a x + b)}^{2} - 1)}^{2} = {({(2 a x + b)}^{2} + 1)}^{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} +) d (M, Δ) = | a x^{2} + b x + c + \frac{1 + b^{2} - 4 a c}{4 a} | = | a x^{2} + b x + \frac{1 + b^{2}}{4 a} | \\ \Rightarrow d^{2} (M, Δ) = {(a x^{2} + b x + \frac{1 + b^{2}}{4 a})}^{2} \\ \Rightarrow 16 a^{2} d (M, Δ) = {(4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 1 + b^{2})}^{2} = {({(2 a x + b)}^{2} + 1)}^{2} \end{array}$

$\Rightarrow \frac{M F}{d (M, Δ)} = e = 1$ (đpcm)