Giải bài 3.24 trang 61

Đề bài

Cho hai parabol có phương trình $y^2=2px$ và $y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)$. Chứng minh rằng nếu hai parabol đó cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó cùng nằm trên đường tròn (C): $x^2+y^2+\left(\frac{b}{a}-2p\right)x-\frac{1}{a}y+\frac{c}{a}=0$

Lời giải chi tiết

Nếu hai parabol cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì tọa độ của bốn điểm đó thỏa mãn:

$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{y}^2=2px\\ y=a{x}^2+bx+c(a\ne 0)\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{y}^2=2px\\ \frac{1}{a}y=x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\end{array}\\ \Rightarrow \frac{1}{a}y+y^2=x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}-2px\\ \iff x^2+y^2+\left(\frac{b}{a}-2p\right)x-\frac{1}{a}y+\frac{c}{a}=0\left(dpcm\right)\end{array}$