Giải bài 3.27 trang 42

Xét tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy trên cạnh BC hai điểm D, E sao cho BD=DE=ECBD=DE=ECBD = DE = EC.

Đề bài

Xét tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy trên cạnh BC hai điểm D, E sao cho $B D = D E = E C$ . Lấy các điểm F, G lần lượt thuộc cạnh AC, AB sao cho FE, GD vuông góc với BC. Chứng minh tứ giác DEFG là một hình vuông.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình vuông để chứng minh: Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

Lời giải chi tiết

Vì $Δ$ ABC vuông cân tại A nên $\hat{B} = \hat{C} = 45^{0}$ , $A B = A C$

Vì $G D ⊥ B C$ nên $\hat{G D B} = \hat{G D E} = 90^{0}$

Vì $F E ⊥ B C$ nên $\hat{F E D} = \hat{F E C} = 90^{0}$

Tam giác BDG có: $\hat{G D B} = 90^{0}, \hat{B} = 45^{0}$ nên tam giác GBD vuông cân tại D, do đó, $\hat{B G D} = 45^{0}$ và $B D = G D$

Mà $B D = D E$ nên $G D = D E$

Tam giác GBD và tam giác FCE có:

$\hat{G D B} = \hat{F E C} = 90^{0}, \hat{B} = \hat{C} = 45^{0}, B D = E C$

Do đó, $Δ G D B = Δ F E C (c g v - g n)$ , suy ra $B G = F C$

Mà $A B = A C$ (cmt) nên $A B - B G = A C - F C$ , suy ra $G A = F A$

Tam giác GAF vuông tại A có $G A = F A$ nên tam giác GAF vuông cân tại A. Do đó, $\hat{F G A} = 45^{0}$

Ta có: $\hat{F G A} + \hat{F G D} + \hat{D G B} = 180^{0}$

$45^{0} + \hat{F G D} + 45^{0} = 180^{0}$ , suy ra $\hat{F G D} = 90^{0}$

Tứ giác GDEF có: $\hat{G D E} + \hat{F E D} + \hat{F G D} + \hat{G F E} = 360^{0}$

Nên $\hat{G F E} = 90^{0}$

Tứ giác DEFG có: $\hat{G D E} = \hat{F E D} = \hat{F G D} = \hat{G F E} = 90^{0}$ nên DEFG là hình chữ nhật, mà $G D = D E$ nên DEFG là hình vuông.