Giải bài 3.29 trang 40

So sánh (sqrt {sqrt {89 + 24sqrt 5 } } ) và (sqrt {1 + sqrt {122} } ).

Đề bài

So sánh $\sqrt{\sqrt{89 + 24 \sqrt{5}}}$ và $\sqrt{1 + \sqrt{122}}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Với A, B là các biểu thức không âm, ta có $\sqrt{A} . \sqrt{B} = \sqrt{A B}$ .

+ $\sqrt{A^{2}} = | A |$ với mọi biểu thức A.

+ Với hai số không âm a, b nếu $a < b$ thì $\sqrt{a} < \sqrt{b}$

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\sqrt{\sqrt{89 + 24 \sqrt{5}}} = \sqrt{\sqrt{{(4 \sqrt{5})}^{2} + 2.4 \sqrt{5} .3 + 3^{2}}} = \sqrt{\sqrt{{(4 \sqrt{5} + 3)}^{2}}} = \sqrt{4 \sqrt{5} + 3}$

$= \sqrt{3 + \sqrt{80}} < \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12}$

Mà $\sqrt{12} = \sqrt{1 + 11} = \sqrt{1 + \sqrt{121}} < \sqrt{1 + \sqrt{122}} .$

Vậy $\sqrt{\sqrt{89 + 24 \sqrt{5}}} < \sqrt{1 + \sqrt{122}}$