Giải bài 3.3 trang 32

Đề bài

Chứng minh tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác:

a) Bé hơn chu vi của tứ giác;

b) Lớn hơn tổng hai cạnh đối tùy ý của tứ giác, từ đó lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Lời giải chi tiết

Xét tứ giác ABCD. Chu vi tứ giác ABCD là $P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA$.

a) Trong $\Delta ABC$ có $AC<AB+BC$ (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong $\Delta ACD$ có $AC<CD+DA$ (bất đẳng thức trong tam giác)

Do đó $AC+AC<AB+BC+CD+DA$ hay $2AC<P_{ABCD}$ (1)

Tương tự, trong $\Delta ABD$ có $BD<AD+AB$

Trong $\Delta BCD$ có: $BD<CD+BC$

Do đó  $BD+BD<AD+AB+CD+BC$ hay $2BD<P_{ABCD}$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $2\left(AC+BD\right)<2P_{ABCD}$, do đó $AC+BD<P_{ABCD}$.

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Trong $\Delta OAB$ có $OA+OB>AB$ (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong $\Delta OCD$ có $OC+OD>CD$ (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên $AC+BD=OA+OC+OB+OD>AB+CD$.

Trong $\Delta OAD$ có $OA+OD>AD$ (bất đẳng thức trong tam giác)

Trong $\Delta OBC$ có $OB+OC>BC$ (bất đẳng thức trong tam giác)

Nên $AC+BD=OA+OC+OB+OD>AD+BC$.

Vậy $2\left(AC+BD\right)>AB+BC+CD+DA=P_{ABCD}$

Tức là $AC+BD>\frac{1}{2}{P}_{ABCD}$ (đpcm).