Giải bài 3.3 trang 37

LG a

a) ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Vẽ đường tròn lượng giác, lấy điểm M biểu diễn góc $\alpha$ bất kì.

Bước 2: Xác định $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ (tương ứng với tung độ và hoành độ của điểm M).

Bước 3: Suy ra đẳng thức cần chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Gọi M(x; y) là điểm trên đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}=\alpha$. Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Ta có: $\{\begin{array}{c}x=\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{\cos }^2\alpha =x^2\\ {\sin }^2\alpha =y^2\end{array}$(1)

Mà $\{\begin{array}{c}\left|x\right|=ON\\ \left|y\right|=OP=MN\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}^2={\left|x\right|}^2=O{N}^2\\ y^2={\left|y\right|}^2=M{N}^2\end{array}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =O{N}^2+M{N}^2=O{M}^2$ (do $\Delta OMN$ vuông tại N)

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ (vì OM = 1) (đpcm).

LG b

b) $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ $(\alpha \ne {90}^o)$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết $\tan \alpha$ dưới dạng $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ $(\alpha \ne {90}^o)$, thay vào vế trái.

Bước 2: Biến đổi vế trái bằng cách quy đồng, kết hợp với ý a) để suy ra vế phải.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ $(\alpha \ne {90}^o)$

$\Rightarrow 1+{\tan }^2\alpha =1+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$

$=\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }+\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$.

Mà theo ý a) ta có ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ với mọi góc $\alpha$

$\Rightarrow 1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ (đpcm).

LG c

c) $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ $(0^o<\alpha <{180}^o)$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Viết $\cot \alpha$ dưới dạng $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$, thay vào vế trái.

Bước 2: Biến đổi vế trái bằng cách quy đồng, kết hợp với ý a) để suy ra vế phải.

Lời giải chi tiết:

Ta có:  $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ $(0^o<\alpha <{180}^o)$

$\Rightarrow 1+{\cot }^2\alpha =1+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }$

$=\frac{{\sin }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }+\frac{{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }$.

Mà theo ý a) ta có ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ với mọi góc $\alpha$

$\Rightarrow 1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ (đpcm).