Giải bài 3.3 trang 44

Đề bài

Cho elip $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

a) Qua tiêu điểm của elip vẽ đường thẳng vuông góc với trục Ox, cắt elip tại hai điểm A và B. Tính độ dài của đoạn thẳng AB.

b) Tìm điểm M trên elip sao cho $M F_{1} = 2 M F_{2}$ với $F_{1}$ and $F_{2}$ là hai tiêu điểm của elip (độ hoàn thành của $F_{1}$ âm).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho elip $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

a) Tiêu điểm $F_{1} (- c; 0), F_{2} (c; 0)$ với $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}}$ .

b) Tìm $x_{M}$ : $M F_{1} = a + \frac{c}{a} x_{M}, M F_{2} = a - \frac{c}{a} x_{M}$ .

Lời giải chi tiết

a) Ta có PTCT của elip là: $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ .

$\Rightarrow a = 3, b = \sqrt{5}, c = 2$ . Tiêu điểm $F_{1} (- 2; 0), F_{2} (2; 0)$ .

Do hai tiêu điểm đối xứng nhau qua O(0;0) nên ta chỉ cần khảo sát đường thẳng qua một tiêu điểm.

Gọi d là đường thẳng đi qua $F_{2} (2; 0)$ góc với trục Ox, cắt elip tại A và B.

Khi đó $d : x = 2$ và $A (2; y_{A}), B (2; y_{B})$ và $A B = 2. | y_{A} |$ .

Vì A thuộc elip nên $\frac{2^{2}}{9} + \frac{{y_{A}}^{2}}{5} = 1 \Rightarrow | y_{A} | = \frac{5}{3}$ .

Do đó chiều dài đoạn AB là $\frac{10}{3}$ .

b) Ta có: $M F_{1} = a + \frac{c}{a} x_{M}, M F_{2} = a - \frac{c}{a} x_{M} .$

Mà $a = 3$ , $c = 2$ , $M F_{1} = 2 M F_{2}$ nên:

$\begin{array}{l} 3 + \frac{2}{3} x_{M} = 2. (3 - \frac{2}{3} . x_{M}) \\ 3 + \frac{2}{3} x_{M} = 6 - \frac{4}{3} x_{M} \\ \Rightarrow x_{M} (\frac{2}{3} + \frac{4}{3}) = 6 - 3 \\ \Rightarrow x_{M} = \frac{3}{2} . \end{array}$

Vì $M$ thuộc elip nên ${\frac{(\frac{3}{2})}{9}}^{2} + \frac{y^{2}}{5} = 1 \Rightarrow \frac{y^{2}}{5} = \frac{3}{4} \Rightarrow y = \pm \frac{\sqrt{15}}{2}$ .

Do đó có hai điểm M thỏa mãn, có tọa độ là $(\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{15}}{2}), (\frac{3}{2}; - \frac{\sqrt{15}}{2})$ .