Giải bài 3.30 trang 40

Đề bài

a) Chứng minh rằng $\sqrt{3+\sqrt{5}}.\sqrt{3-\sqrt{5}}=2$ và $\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{10}$.

b) Rút gọn các biểu thức sau:

$A={\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right)}^3+{\left(\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)}^3$;

$B={\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right)}^5+{\left(\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)}^5$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

+) $\sqrt{3+\sqrt{5}}.\sqrt{3-\sqrt{5}}$

$=\sqrt{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}=\sqrt{3^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\sqrt{4}=2$

+) ${\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}\right)}^2$

$=3+\sqrt{5}+2\sqrt{3+\sqrt{5}}\sqrt{3-\sqrt{5}}+3-\sqrt{5}=6+2.2=10$

Do đó, $\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{10}$.

b) Đặt $a=\sqrt{3+\sqrt{5}},b=\sqrt{3-\sqrt{5}}$.

Theo a ta có: $ab=2,a+b=\sqrt{10}$

Ta có:

$a^3+b^3={\left(a+b\right)}^3-3ab\left(a+b\right)={\left(\sqrt{10}\right)}^3-3.2\sqrt{10}=10\sqrt{10}-6\sqrt{10}=4\sqrt{10}$

Vậy $A=4\sqrt{10}$

$B=a^5+b^5=\left(a^2+b^2\right)\left(a^3+b^3\right)-a^2{b}^3-a^3{b}^2=\left[{\left(a+b\right)}^2-2ab\right]A-{\left(ab\right)}^2\left(a+b\right)=\left[{\left(\sqrt{10}\right)}^2-2.2\right].4\sqrt{10}-2^2.\sqrt{10}=20\sqrt{10}$