Giải bài 3.30 trang 40

Đề bài

a) Chứng minh rằng $\sqrt{3 + \sqrt{5}} . \sqrt{3 - \sqrt{5}} = 2$ và $\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{10}$ .

b) Rút gọn các biểu thức sau:

$A = {(\sqrt{3 + \sqrt{5}})}^{3} + {(\sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{3}$ ;

$B = {(\sqrt{3 + \sqrt{5}})}^{5} + {(\sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{5}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Với A, B là các biểu thức không âm, ta có $\sqrt{A} . \sqrt{B} = \sqrt{A B}$ .

+ $\sqrt{A^{2}} = | A |$ với mọi biểu thức A.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

+) $\sqrt{3 + \sqrt{5}} . \sqrt{3 - \sqrt{5}}$

$= \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})} = \sqrt{3^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{4} = 2$

+) ${(\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2}$

$= 3 + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{3 - \sqrt{5}} + 3 - \sqrt{5} = 6 + 2.2 = 10$

Do đó, $\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{10}$ .

b) Đặt $a = \sqrt{3 + \sqrt{5}}, b = \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ .

Theo a ta có: $a b = 2, a + b = \sqrt{10}$

Ta có:

$a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b) = {(\sqrt{10})}^{3} - 3.2 \sqrt{10} = 10 \sqrt{10} - 6 \sqrt{10} = 4 \sqrt{10}$

Vậy $A = 4 \sqrt{10}$

$B = a^{5} + b^{5} = (a^{2} + b^{2}) (a^{3} + b^{3}) - a^{2} b^{3} - a^{3} b^{2} = [{(a + b)}^{2} - 2 a b] A - {(a b)}^{2} (a + b) = [{(\sqrt{10})}^{2} - 2.2] .4 \sqrt{10} - 2^{2} . \sqrt{10} = 20 \sqrt{10}$