Giải bài 3.32 trang 40

a) Khai triển ({left( {2 - sqrt 3 } right)^2}) và ({left( {2sqrt 3 - 3} right)^2}) thành những biểu thức không còn bình phương. b) Sử dụng kết quả câu a, rút gọn các biểu thức sau: (A = sqrt {4 - 2sqrt 3 - sqrt {21 - 12sqrt 3 } } ); (B = sqrt {2 + sqrt 3 + sqrt {4 - 2sqrt 3 - sqrt {21 - 12sqrt 3 } }

Đề bài

a) Khai triển ${(2 - \sqrt{3})}^{2}$ và ${(2 \sqrt{3} - 3)}^{2}$ thành những biểu thức không còn bình phương.

b) Sử dụng kết quả câu a, rút gọn các biểu thức sau:

$A = \sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{21 - 12 \sqrt{3}}}$ ;

$B = \sqrt{2 + \sqrt{3} + \sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{21 - 12 \sqrt{3}}}}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Với A, B là các biểu thức không âm, ta có $\sqrt{A} . \sqrt{B} = \sqrt{A B}$ .

+ $\sqrt{A^{2}} = | A |$ với mọi biểu thức A.

Lời giải chi tiết

a) ${(2 - \sqrt{3})}^{2} = 2^{2} - 2.2 \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2} = 7 - 4 \sqrt{3}$ ;

${(2 \sqrt{3} - 3)}^{2} = {(2 \sqrt{3})}^{2} - 2.2 \sqrt{3} .3 + 3^{2} = 21 - 12 \sqrt{3} .$

b) Theo a ta có:

$\sqrt{21 - 12 \sqrt{3}} = \sqrt{{(2 \sqrt{3} - 3)}^{2}} = | 2 \sqrt{3} - 3 | = 2 \sqrt{3} - 3$

Do đó, $A = \sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{21 - 12 \sqrt{3}}}$

$= \sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3} = \sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} = \sqrt{{(2 - \sqrt{3})}^{2}} = | 2 - \sqrt{3} | = 2 - \sqrt{3}$

$B = \sqrt{2 + \sqrt{3} + \sqrt{4 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{21 - 12 \sqrt{3}}}} = \sqrt{2 + \sqrt{3} + A} = \sqrt{2 + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3}} = \sqrt{4} = 2$