Giải bài 3.35 trang 42

Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC là:

Đề bài

Tam giác $A B C$ có $\hat{A} = 60^{\circ}, A B = 3, B C = 3 \sqrt{3} .$ Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác $A B C$ là:

A. $\frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{2} .$

B. $\frac{3 (\sqrt{3} + 1)}{2} .$

C. $\frac{\sqrt{3} - 1}{2} .$

D. $\sqrt{3} - 1.$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính độ dài đoạn thẳng $A C :$ $\cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2 A B . A C} .$

- Tính nửa chu vi và diện tích $Δ A B C$ : $S = \frac{1}{2} A B . A C . \sin A$

- Tính bán kính đường tròn nội tiếp $Δ A B C$ : $S = p r .$

Lời giải chi tiết

Độ dài đoạn thẳng $A C$ là:

$\begin{array}{l} \cos A = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2 A B . A C} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{9 + A C^{2} - 27}{6 A C} \\ \Leftrightarrow 2 (A C^{2} - 18) = 6 A C \\ \Leftrightarrow 2 A C^{2} - 6 A C - 36 = 0 \\ \Leftrightarrow A C = 6. \end{array}$

Nửa chu vi $Δ A B C$ là: $p = \frac{A B + A C + B C}{2} = \frac{3 + 6 + 3 \sqrt{3}}{2} = \frac{9 + 3 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3} (\sqrt{3} + 1)}{2}$

Diện tích $Δ A B C$ là: $S = \frac{1}{2} A B . A C . \sin A = \frac{1}{2} .3 .6 \sin 60^{\circ} = \frac{9 \sqrt{3}}{2} .$

Bán kính đường tròn nội tiếp $Δ A B C$ là:

$r = \frac{S}{p} = \frac{9 \sqrt{3}}{2} : \frac{3 \sqrt{3} (\sqrt{3} + 1)}{2} = \frac{3}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 (\sqrt{3} - 1)}{2}$

Chọn A.