Giải bài 3.35 trang 73

Cho hình bình hành ABCD.

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của góc A, B, C, D cắt nhau như trên Hình 3.58. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh tứ giác EFGH là hình bình hành có $\hat{E H G} = 90^{o}; \hat{A G F} = 90^{o}; \hat{H E F} = 90^{o}$ nên tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB // CD hay AM // DN.

Suy ra $\hat{M_{1}} = \hat{D_{2}}$ (hai góc so le trong)

Mà $\hat{D_{1}} = \hat{D_{2}}$ (vì DM là tia phân giác $\hat{A D C}$ ).

Do đó $\hat{M_{1}} = \hat{D_{1}}$ nên tam giác ADM cân tại A.

Chứng minh tương tự, ta có tam giác BCN cân tại C.

Vì $\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}}; \hat{D_{1}} = \hat{D_{2}}$ (vì DM, BN lần lượt là tia phân giác của $\hat{A D C}; \hat{A B C}$ ).

Mà $\hat{A D C} = \hat{A B C}$ (vì tứ giác ABCD là hình bình hành).

Do đó $\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} = \hat{D_{1}} = \hat{D_{2}}$

Tam giác ADM cân tại A, tam giác BCN cân tại C.

Mà $\hat{B_{1}} = \hat{D_{2}}$ nên $\hat{M_{1}} = \hat{N_{2}}$ suy ra $\hat{M_{2}} = \hat{N_{1}}$

Tứ giác BMDN có $\hat{B_{1}} = \hat{D_{2}}; \hat{M_{2}} = \hat{N_{1}}$ nên tứ giác BMDN là hình bình hành.

Suy ra DM // BN hay HE // GF.

Tam giác ADM cân tại A có AH là đường phân giác nên AH cũng là đường cao.

Suy ra $\hat{A H E} = 90^{o}$ nên $\hat{E H G} = 90^{o}$

Mà HE // GF suy ra $\hat{A G F} = 90^{o}$ (hai góc đồng vị).

Tương tự, ta cũng chứng minh được: $\hat{H E F} = 90^{o}; \hat{G F E} = 90^{o}$

Tứ giác EFGH có $\hat{E H G} = 90^{o}; \hat{A G F} = 90^{o}; \hat{H E F} = 90^{o}$

Do đó tứ giác EFGH là hình chữ nhật.