Giải bài 3.4 trang 33

Đề bài

Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $0^{\circ }<\alpha <{180}^{\circ },\tan \alpha =\sqrt{2}.$ Tính giá trị của biểu thức

$K=\frac{{\sin }^3\alpha +\sin \alpha .{\cos }^2\alpha +2{\sin }^2\alpha .\cos \alpha -4{\cos }^3\alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }.$

Lời giải chi tiết

Chia cả tử vào mẫu của biểu thức K cho ${\cos }^3\alpha$ ta được:

$\begin{array}{c}K=\frac{{\sin }^3\alpha +\sin \alpha .{\cos }^2\alpha +2{\sin }^2\alpha .\cos \alpha -4{\cos }^3\alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }\\ K=\frac{\frac{{\sin }^3\alpha }{{\cos }^3\alpha }+\frac{\sin \alpha .{\cos }^2\alpha }{{\cos }^3\alpha }+\frac{2{\sin }^2\alpha .\cos \alpha }{{\cos }^3\alpha }-\frac{4{\cos }^3\alpha }{{\cos }^3\alpha }}{\frac{\sin \alpha }{{\cos }^3\alpha }-\frac{\cos \alpha }{{\cos }^3\alpha }}\\ K=\frac{{\tan }^3\alpha +\tan \alpha +2{\tan }^2\alpha -4}{\tan \alpha .\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-\frac{1}{{\cos }^2\alpha }}\\ K=\frac{{\tan }^3\alpha +\tan \alpha +2{\tan }^2\alpha -4}{\tan \alpha .\left(1+{\tan }^2\alpha \right)-\left(1+{\tan }^2\alpha \right)}\\ K=\frac{{\left(\sqrt{2}\right)}^3+\sqrt{2}+2{\left(\sqrt{2}\right)}^2-4}{\sqrt{2}\left[1+{\left(\sqrt{2}\right)}^2\right]-\left[1+{\left(\sqrt{2}\right)}^2\right]}\\ K=\frac{3\sqrt{2}}{3\left(\sqrt{2}-1\right)}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+1\right).\end{array}$