Giải bài 3.4 trang 37

Đề bài

Cho góc $\alpha$ $(0^o<\alpha <{180}^o)$ thỏa mãn $\tan \alpha =3$.

Tính giá trị biểu thức: $P=\frac{2\sin \alpha -3\cos \alpha }{3\sin \alpha +2\cos \alpha }$.

Lời giải chi tiết

Vì  $\tan \alpha =3$ nên $\cos \alpha \ne 0$.

$\Rightarrow P=\frac{\frac{2\sin \alpha -3\cos \alpha }{\cos \alpha }}{\frac{3\sin \alpha +2\cos \alpha }{\cos \alpha }}=\frac{2\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-3}{3\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+2}$

$\iff P=\frac{2\tan \alpha -3}{3\tan \alpha +2}=\frac{2.3-3}{3.3+2}=\frac{3}{11}$.

Cách 2: 

Ta có: $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ $(\alpha \ne {90}^o)$

$\Rightarrow \frac{1}{{\cos }^2\alpha }=1+3^2=10$

$\iff {\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}\iff \cos \alpha =\pm \frac{\sqrt{10}}{10}$.

Vì $0^o<\alpha <{180}^o$ nên $\sin \alpha >0$.

Mà $\tan \alpha =3>0\Rightarrow \cos \alpha >0\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$.

Lại có: $\sin \alpha =\cos \alpha .\tan \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}.3=\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

$\Rightarrow P=\frac{2.\frac{3\sqrt{10}}{10}-3.\frac{\sqrt{10}}{10}}{3.\frac{3\sqrt{10}}{10}+2.\frac{\sqrt{10}}{10}}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{10}\left(2.3-3\right)}{\frac{\sqrt{10}}{10}\left(3.3+2\right)}=\frac{3}{11}$.