Giải bài 3.45 trang 75

Cho tam giác ABC cân tại A

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A; M là một điểm thuộc đường thẳng BC, B ở giữa M và C. Gọi E và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M và từ B xuống AC, còn N, D lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B xuống ME và từ M xuống AB. (H.3.60)

Chứng minh rằng:

a) Tứ giác BKEN là hình chữ nhật

b) BK và NE cùng bằng hiệu khoảng cách từ M đến AC và AB (dù M thay đổi trên đường thẳng MC miễn là B nằm giữa M và C)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tứ giác BKEN có ba góc bằng 90^o

b) Chứng minh ΔMBD = ΔMBN (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra MD = MN

Lại có: BK = NE = ME – MN suy ra BK = NE = ME − MD.

Lời giải chi tiết

a) Xét tứ giác BKEN có: $\hat{B K E} = \hat{K E N} = \hat{E N B} = 90^{o}$

Suy ra tứ giác BKEN là hình chữ nhật

b) D là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB

Ta có BN // AC (do BKNE là hình chữ nhật) suy ra $\hat{M B N} = \hat{B C A}$ (hai góc đồng vị)

$\hat{M B D} = \hat{A B C}$ (đối đỉnh)

Mà $\hat{A B C} = \hat{B C A}$ (tam giác ABC cân tại A) suy ra $\hat{M B N} = \hat{M B D}$

Xét tam giác vuông MBD và MBN ta có:

BM chung

$\hat{M B N} = \hat{M B D}$

Suy ra ΔMBD = ΔMBN (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra MD = MN

Lại có: BK = NE = ME – MN suy ra BK = NE = ME − MD