Giải bài 3.5 trang 55

Cho hình thang ABCD (AB // CD).

Đề bài

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Kẻ đường thẳng vuông góc với AC tại C và đường thẳng vuông góc với BD tại D, hai đường thẳng này cắt nhau tại E. Chứng minh rằng nếu EC = ED thì hình thang ABCD là hình thang cân.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Chứng minh hai đường chéo AC = BD nên ABCD là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Xét ∆DOE và ∆COE có:

$\hat{O D E} = \hat{O C E} = 90^{o}$ (vì OD ⊥ DE; OC ⊥ CE)

EC = ED (giả thiết)

Cạnh OE chung

Do đó ∆DOE = ∆COE (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra OC = OD (hai cạnh tương ứng).

Do đó tam giác OCD cân tại O nên $\hat{C_{1}} = \hat{D_{1}}$

Vì ABCD là hình thang nên AB // CD suy ra $\hat{A_{1}} = \hat{C_{1}}; \hat{B_{1}} = \hat{D_{1}}$ (cặp góc so le trong).

Do đó $\hat{A_{1}} = \hat{B_{1}}$ (vì $\hat{C_{1}} = \hat{D_{1}}$ )

Suy ra tam giác OAB cân tại O nên OA = OB.

Do OA = OB, OC = OD nên OA + OC = OB + OD nên AC = BD

Nên ABCD là hình thang cân theo dấu hiệu nhận biết "nếu một hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì hình thang đó là hình thang cân".