Giải bài 3.7 trang 38

a) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác. b) Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác. c) Tính diện tích của tam giác. d) Tính độ dài các đường cao của tam giác.

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ có $\hat{A} = 45^{\circ}, \hat{C} = 30^{\circ}, c = 12.$

a) Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác.

b) Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác.

c) Tính diện tích của tam giác.

d) Tính độ dài các đường cao của tam giác.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính $\hat{B} = 180^{\circ} - \hat{A} - \hat{C}$

- Áp dụng công thức $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ để tính cách cạnh $a, b$

- Áp dụng định lý sin để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác $\frac{c}{\sin C} = 2 R .$

- Áp dụng công thức tính diện tích $S = \frac{a b c}{4 R} .$

- Áp dụng công thức tính diện tích để tính độ dài các đường cao $S = \frac{1}{2} a . h_{a} = \frac{1}{2} b . h_{b} = \frac{1}{2} c . h_{c}$ .

Lời giải chi tiết

a) Xét $Δ A B C$ có $\hat{B} = 180^{\circ} - \hat{A} - \hat{C} = 180^{\circ} - 45^{\circ} - 30^{\circ} = 105^{\circ} .$

Áp dụng định lý sin ta được:

${\begin{matrix} \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \\ \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} \frac{a}{\sin 45^{\circ}} = \frac{12}{\sin 30^{\circ}} \\ \frac{b}{\sin 105^{\circ}} = \frac{12}{\sin 30^{\circ}} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} a = \frac{12 \sin 45^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = 12 \sqrt{2} \\ b = \frac{12 \sin 105^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} = 6 \sqrt{2} (\sqrt{3} + 1) \end{matrix}$

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác là:

Áp dụng định lý sin ta được:

$\frac{c}{\sin C} = 2 R \Rightarrow R = \frac{c}{2 \sin C} = \frac{12}{2 \sin 30^{\circ}} = \frac{12}{2. \frac{1}{2}} = 12.$

c) Diện tích $Δ A B C$ là:

$S = \frac{1}{2} a b . \sin C = \frac{1}{2} .12 \sqrt{2} .6 \sqrt{2} (\sqrt{3} + 1) . \sin 30^{\circ} = 36 (\sqrt{3} + 1)$ (đvdt).

d) Ta có: ${\begin{matrix} S = \frac{1}{2} a . h_{a} \\ S = \frac{1}{2} b . h_{b} \\ S = \frac{1}{2} c . h_{c} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} h_{a} = \frac{2 S}{a} \\ h_{b} = \frac{2 S}{b} \\ h_{c} = \frac{2 S}{c} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} h_{a} = \frac{2.36 (\sqrt{3} + 1)}{12 \sqrt{2}} = 3 \sqrt{2} (\sqrt{3} + 1) \\ h_{b} = \frac{2.36 (\sqrt{3} + 1)}{6 \sqrt{2} (\sqrt{3} + 1)} = 6 \sqrt{2} \\ h_{c} = \frac{2.36 (\sqrt{3} + 1)}{12} = 6 (\sqrt{3} + 1) \end{matrix}$