Giải bài 3.9 trang 34

Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A. Ghép thêm vào phía ngoài tam giác đó tam giác BCD vuông cân tại đỉnh B.

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A. Ghép thêm vào phía ngoài tam giác đó tam giác BCD vuông cân tại đỉnh B. Chứng minh tứ giác ABDC là một hình thang vuông (hình thang có một cạnh bên vuông góc với đáy).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất của tam giác cân, tổng ba góc của tam giác; dấu hiệu nhận biết hình thang, hình thang vuông.

Lời giải chi tiết

Do $Δ A B C$ vuông cân tại đỉnh A nên $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ ; $\hat{A} = 90^{\circ}$

Xét trong $Δ A B C$ có $\hat{A B C} + \hat{A C B} + \hat{A} = 180^{\circ}$

Nên $\hat{A B C} = \hat{A C B} = \frac{180^{\circ} - \hat{A}}{2} = \frac{180^{\circ} - 90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$

Tương tự do $Δ B C D$ vuông cân tại đỉnh B nên $\hat{B C D} = \hat{B D C}$ ; $\hat{C B D} = 90^{\circ}$

Xét trong $Δ B C D$ có $\hat{B C D} + \hat{B D C} + \hat{C B D} = 180^{\circ}$

Nên $\hat{B C D} = \hat{B D C} = \frac{180^{\circ} - \hat{C B D}}{2} = \frac{180^{\circ} - 90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$ .

Ta có $\hat{A B C} = 45^{\circ} = \hat{B C D}$ nên AB // CD (hai góc so le trong bằng nhau).

Vậy ABCD là một hình thang với AB, CD là hai đáy; cạnh bên của hình thang là AC vuông góc với đáy AB nên hình thang đó là hình thang vuông.