Giải bài 3.9 trang 39

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ có $a = 4, \hat{C} = 60^{\circ}, b = 5.$

a) Tính các góc và các cạnh còn lại của tam giác.

b) Tính diện tích của tam giác.

c) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Áp dụng định lý cosin để tính cạnh $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b . \cos C$

- Áp dụng định lý cosin để tính các góc $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ và $\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}$

- Diện tích $Δ A B C$ là $S = \frac{1}{2} a b \sin C$

- Tính độ dài đường trung tuyến $m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}$

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lý cosin, ta có:

$\begin{array}{l} c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b . \cos C \\ c^{2} = 4^{2} + 5^{2} - 2.4.5. \cos 60^{\circ} \\ c^{2} = 16 + 25 - 40. \frac{1}{2} = 21 \Rightarrow c = \sqrt{21} \end{array}$

Áp dụng định lý cosin, ta có:

${\begin{matrix} \cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} \\ \cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} \cos A = \frac{25 + 21 - 16}{10 \sqrt{21}} \\ \cos B = \frac{16 + 21 - 25}{8 \sqrt{21}} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} \cos A = \frac{3}{\sqrt{21}} \\ \cos B = \frac{2}{3 \sqrt{21}} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} \hat{A} \approx 49^{\circ} \\ \hat{B} \approx 71^{\circ} \end{matrix}$

b) Diện tích $Δ A B C$ là $S = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{2} .4 .5 . \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} .4 .5 . \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3}$ (đvdt)

c) Độ dài đường trung tuyến từ đỉnh A của $Δ A B C$ là:

$\begin{array}{l} m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} \\ m_{a}^{2} = \frac{25 + 21}{2} - \frac{16}{4} \\ m_{a}^{2} = 23 - 4 = 19 \\ \Rightarrow m_{a} = \sqrt{19} . \end{array}$