Giải bài 3.9 trang 39

a) Tính các góc và các cạnh còn lại của tam giác. b) Tính diện tích của tam giác. c) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác.

Đề bài

Cho tam giác $A B C$ có $a = 4, \hat{C} = 60^{\circ}, b = 5.$

a) Tính các góc và các cạnh còn lại của tam giác.

b) Tính diện tích của tam giác.

c) Tính độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Áp dụng định lý cosin để tính cạnh $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b . \cos C$

- Áp dụng định lý cosin để tính các góc $\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}$ và $\cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}$

- Diện tích $Δ A B C$ là $S = \frac{1}{2} a b \sin C$

- Tính độ dài đường trung tuyến $m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4}$

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lý cosin, ta có:

$\begin{array}{l} c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b . \cos C \\ c^{2} = 4^{2} + 5^{2} - 2.4.5. \cos 60^{\circ} \\ c^{2} = 16 + 25 - 40. \frac{1}{2} = 21 \Rightarrow c = \sqrt{21} \end{array}$

Áp dụng định lý cosin, ta có:

${\begin{matrix} \cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} \\ \cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} \cos A = \frac{25 + 21 - 16}{10 \sqrt{21}} \\ \cos B = \frac{16 + 21 - 25}{8 \sqrt{21}} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} \cos A = \frac{3}{\sqrt{21}} \\ \cos B = \frac{2}{3 \sqrt{21}} \end{matrix} \Rightarrow {\begin{matrix} \hat{A} \approx 49^{\circ} \\ \hat{B} \approx 71^{\circ} \end{matrix}$

b) Diện tích $Δ A B C$ là $S = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{2} .4 .5 . \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} .4 .5 . \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3}$ (đvdt)

c) Độ dài đường trung tuyến từ đỉnh A của $Δ A B C$ là:

$\begin{array}{l} m_{a}^{2} = \frac{b^{2} + c^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{4} \\ m_{a}^{2} = \frac{25 + 21}{2} - \frac{16}{4} \\ m_{a}^{2} = 23 - 4 = 19 \\ \Rightarrow m_{a} = \sqrt{19} . \end{array}$